二阶常系数线性微分方程课件.ppt

二階常係數線性微分方程二階常係數線性微分方程一般形式y??+py?+qy=f(x)當f（x）=0時，稱為齊次的當f（x）≠0時，稱為非齊次的一、線性微分方程的解的結構簡要證明這是因為定理1(齊次方程的解的疊加原理)如果函數y1(x)與y2(x)是方程y???py??qy?0的兩個解?那麼y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中C1、C2是任意常數?(C1y1?C2y2)???p(C1y1?C2y2)??q(C1y1?C2y2)?C1[y1???py1??qy1]?C2[y2???py2??qy2]?0?0?0??(C1y1???C2y2??)?p(C1y1??C2y2?)?q(C1y1?C2y2)例：已知cosx與sinx都是方程y??+y=0的解?因為比值cosx/sinx=cotx不恒為零?方程的通解為y=C1cosx?C2sinx?如果函數y1(x)與y2(x)是方程y??+py?+qy=0的兩個的解且y1(x)/y2(x)不等於常數，那麼y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解?其中C1、C2是任意常數?定理2(齊次方程的通解的結構)注?我們把方程y??+py?+qy=0叫做與非齊次方程y??+py?+qy=f(x)對應的齊次方程?證明提示?[Y(x)+y*(x)]??+p[Y(x)+y*(x)]?+q[Y(x)+y*(x)]=[Y??+pY?+qY]?[y*??+py*?+qy*]?0?f(x)?f(x)?舉例?已知Y=C1cosx+C2sinx是齊次方程y??+y=0的通解?y*=x2-2是非齊次方程y??+y=x2的一個特解?因此y=C1cosx+C2sinx+x2-2是非齊次方程y??+y=x2的通解?定理3(非齊次方程的通解的結構)設y*(x)是方程y???py??qy?f(x)的一個特解?Y(x)是方程y???py??qy?0的通解?那麼y?Y(x)?y*(x)是方程y???py??qy?f(x)的通解?定理4(非齊次方程的解的疊加原理)簡要證明?這是因為[y1+y2*]???p[y1*+y2*]??q[y1*+y2*]=[y1*???py1*??qy1*]?[y2*???py2*??qy2*]=f1(x)?f2(x)?設y1*(x)與y2*(x)分別是方程y???py??qy?f1(x)與y???py??qy?f2(x)的特解?那麼y1*(x)?y2*(x)是方程y???py??qy?f1(x)?f2(x)的特解?-----特徵方程法二、二階常係數齊次線性方程思想：二階常係數齊次線性微分方程考慮到當y??、y?、y為同類函數時?有可能使y???py??qy恒等於零?而函數erx具有這種性質?所以猜想erx是方程的解?將y?erx代入方程y???py??qy?0得(r2?pr?q)erx?0?由此可見?只要r滿足代數方程r2?pr?q?0?函數y?erx就是微分方程的解?分析?方程y???py??qy?0稱為二階常係數齊次線性微分方程?其中p、q均為常數?方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特徵方程.特徵方程及其根特徵方程的求根公式為二階常係數齊次線性微分方程方程y???py??qy?0稱為二階常係數齊次線性微分方程?其中p、q均為常數?2422,1qppr-±-=.?有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特徵根為?有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特徵根為通解為特徵根為特解為?有一對共軛複根重新組合第一步寫出微分方程的特徵方程r2+pr+q=0?第二步求出特徵方程的兩個根r1、