重难点09 勾股定理与全等三角形的综合解答题（解析版）2024-2025学年八年级数学下册.pdf

重难点09勾股定理与全等三角形的综合

解答题

基础题

1．（2024秋•景德镇期中）如图，在一条笔直的公路l旁边有A，B两个村庄，A村庄到公

路l的距离AC＝5km，B村庄到公路l的距离BD＝12km，现要在CD之间建一个加油站

E，使得A，B两村庄到加油站E的距离相等．

（1）若AE⊥BE，试说明：△BDE≌△ECA；

（2）若C，D两点间的距离为17km，求C，E两点间的距离．

【分析】（1）先根据余角的性质证明∠B＝∠AEC，然后根据可证△BDE≌△ECA；

（2）设CE＝xkm，则DE＝（17﹣x）km，根据BE＝AE，利用勾股定理列方程求解即可．

【解答】（1）证明：∵AE⊥BE，

∴∠BED+∠AEC＝90°，

又∵∠BED+∠B＝90°，

∴∠B＝∠AEC，

在△BDE在△ECA中，

∠=∠=90°

∠=∠，

=

∴△BDE≌△ECA（AAS）；

（2）解：设CE＝xkm，则DE＝（17﹣x）km，

222

在直角三角形BDE中，由勾股定理得：BE＝12+（17﹣x），

222

在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AE＝5+x，

∵BE＝AE，

2222

∴12+（17﹣x）＝5+x，

解得x＝12，

∴C，E两点间的距离12km．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应

用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

2．如图，在△ABC和△DCE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝BC，DB＝BE，A，D，E三

点在同一直线上．

（1）求证：AD＝CE；

（2）若DB＝22，AD＝5．求AC的长．

【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），可得结论；

（2）利用全等三角形的性质以及勾股定理，解决问题即可．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，

即∠ABD＝∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

=

∠=∠，

=

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴AD＝CE；

（2）解：如图，AE与BC交于点O，

由（1）可知△ABD≌△CBE，

∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE，

∵∠AOB＝∠COE，

∴∠CEO＝∠ABO＝90°，

在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，BE＝DB＝22，

∴DE=2DB=2×22=4，

∵CE＝AD＝5，

∴AE＝AD+DE＝5+4＝9，

在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，AE＝9，CE＝5，

∴AC=2+2=92+52=106．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

3．（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D在边AC

上，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

（1）求证：DC⊥CE；

（2）探究线段AD，CD，BE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先判断出△ABD≌△CBE，得到∠BCE＝∠BAC＝45°，进而求得∠DCE＝