重难点10 勾股定理与实际应用的八大重难点题型（原卷版）2024-2025学年八年级数学下册.pdf

重难点10勾股定理与实际应

▲知识点1：勾股定理解决实际问题

利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利

勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为

直角三角形来解决.

◆勾股定理应用的类型：

（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；

（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；

（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三

角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.

【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造

直角三角形.

【题型一应用勾股定理解决旗杆高度问题】

【例题1】（2024秋•管城区校级期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，

旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（）m．

A．12B．13C．17D．18

【变式1-2】（2024秋•中卫期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端

A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）

A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm

【变式1-3】（2024秋•宜兴市期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，

委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在

木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比

木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长

为尺．

【变式1-4】（2024春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高

度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF

＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【题型二应用勾股定理解决风吹树折问题】

【例题2】（2024春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华

南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如

图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的

距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）

A．10mB．15mC．18mD．20m

【变式2-1】（2024秋•兰州期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），

中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面

的高度为（）

A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺

【变式2-2】（2024春•随县期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，

葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一

个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分

BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到

岸边的B′（示意图如图，则水深为尺．

【变式2-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面

上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？

【题型三应用勾股定理解决梯子滑落问题】

【例题3】（2024春•南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO

上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（）米．

A．0.6B．0.8C．1D．2

【变式3-1】（2024秋•项城市期末）如图所示，小巷左右两