专题：立体几何之折叠问题——七大题型解析版-2025届高三数学一轮复习.docx
专题：立体几何之折叠问题—七大题型解析版
一?知识导图
二?基础知识
1.简单几何体的表面积与体积
（1）圆柱侧面积；（是底面圆半径，是母线长）
（2）圆锥侧面积：（是底面圆半径，是母线长）
（3）体积公式：
；；
（4）球的表面积和体积：
.
2.空间直线、平面的平行
1.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行.
2.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
（1）直线与平面平行1.线面平行判定定理（线线平行线面平行）：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.线面平行性质定理（线面平行线线平行）：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
（2）平面与平面平行
1.面面平行判定定理1（线面平行面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.面面平行判定定理2（线线平行面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.
3.面面平行性质定理（面面平行线线平行）：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
4.面面平行的定义推论（面面平行线面平行）：
如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
3.空间直线、平面的垂直
（1）直线与直线垂直1.异面直线所成的角定义：
已知两异面直线，经过空间任一点O分别作直线，我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角.空间两条直线所成角的取值范围是.
2.两条异面直线互相垂直的定义：
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
（2）直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义：
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直.
2.线面垂直定义的推论（线面垂直线线垂直）：
如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线.
3.点到平面的距离的定义：
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离.
4.线面垂直判定定理（线线垂直线面垂直）：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
5.线面垂直性质定理：
（1）垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.
6.直线和平面所成的角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线和平面所成的角范围是.
7.直线到平面的距离的定义：
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
8.两个平行平面间的距离的定义：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离.
（3）平面与平面垂直
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
记作：例如二面角或二面角或二面角.
二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
二面角的范围是.
3．两个平面互相垂直的定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
4.面面垂直判定定理（线面垂直面面垂直）：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
5.面面垂直性质定理（面面垂直线面垂直）：
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
4.空间向量的应用
1.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量.
2.空间中直线、平面的平行
（1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则
使得.
（2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则
.
法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则.
法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则.
（3）面面平行:设分别是平面的法向量，则
，使得.
3.空间中直线、平面的垂直
（1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则.
（2）线面垂直:设直线的方向向量,是平面的法向量,则，使得.
法2:在平面内取两个不共线向量,若.则.
（3）面面垂直:设分别是平面的法向量，则.
4.用空间向量研究距离、夹角问题
（1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点,是外一点，，则点到直线的距离为.
(2)求点到平面的距离
已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面