《数学建模》第6章 稳定性模型-教学课件（非AI生成）.pptx

第六章稳定性模型

6.1捕鱼业的持续收获

6.2军备竞赛

6.3种群的相互竞争

6.4种群的相互依存

6.5种群的弱肉强食

稳定性模型

·对象仍是动态过程，而建模目的是研究时

间充分长以后过程的变化趋势——平衡状

态是否稳定。

·不求解微分方程，而是用微分方程稳定性

理论研究平衡状态的稳定性。

6.1捕鱼业的持续收获

·再生资源(渔业、林业等)与

背景

非再生资源(矿业等)

·再生资源应适度开发——在持续稳

产前提下实现最大产量或最佳效益。

●在捕捞量稳定的条件下，如何控

问题制捕捞使产量最大或效益最佳。

分析

·如果使捕捞量等于自然增长量，渔

场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。

产量模型x(t)～渔场鱼量

假设·无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律

r~固有增长率，N~最大鱼量

●单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比

h(x)=Ex,E~捕捞强度

建模记F(x)=f(x)-h(x)

捕捞情况下

渔场鱼量满足

·不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件

一阶微分方程的平衡点及其稳定性

x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程

F(x)=0的根x₀~微分方程的平衡点x=0=x=x。

设x(t)是方程的解，若从x,某邻域的任一初值出发，

都有称x,是方程(1)的稳定平衡点

不求x(t),判断x,稳定性的方法——直接法

(1)的近似线性方程x=F(x₀)(x-

x₀)(2)

F(x。)0→x。稳定(对(2),(1))

F(x。)0→x。不稳定(对(2),(1))

产量模型

F(x)=0

平衡点

稳定性判断F(x₀)=E-r,F(x₁)=r-

E

Er→F(x₀)0,F(x₁)0x。稳定，x₁

不稳定

Er→F(x₀)0,F(x₁)0x₀不稳定，

x₁稳定

E~捕捞强度r~固有增长率

x,稳定，可得到稳定产量x₁稳定，渔场干枯

产量模型在捕捞量稳定的条件下，

控制捕捞强度使产量最大图解法

F(x)=f(x)-h(x)

h(x)=Ex

F(x)=0f与h交点P

Er=x₀。稳

定

P的横坐标x₀~平衡点P的纵坐标h~产量

产量最大P(x,=N/2,h=rN/4)

₀

控制渔场鱼量为最大鱼量E的=一h半/x=r/2

效益模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞

强度使效益最大.

假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c

收入T=ph(x)=pEx支出S=cE

单位时间利润R=T-S=pEx-cE

求E使R(E)最大

渔场

鱼量

捕捞·封闭式捕捞追求利润R(E)最大

过度·开放式捕捞只求利润R(E)0

R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)E₅=2ER

临界强度下的渔场鱼量

S(E)

T(E)

p个，c↓CE,个，x,↓

0ERE*E₅r

捕捞过度E

6.2军备竞赛

目的·描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程

·解释(预测)双方军备竞赛的结局

假设1