《数学建模》第5章 微分方程模型-教学课件（非AI生成）.pptx
第五章微分方程模型
5.1传染病模型
5.2经济增长模型
5.3正规战与游击战
5.4药物在体内的分布与排除
5.5香烟过滤嘴的作用
5.6人口预测和控制
5.7烟雾的扩散与消失
5.8万有引力定律的发现
动态
模型
·描述对象特征随时间(空间)的演变过程
·分析对象特征的变化规律
●预报对象特征的未来性态
·研究控制对象特征的手段
微分
方程
建模
·根据函数及其变化率之间的关系确定函数
·根据建模目的和问题分析作出简化假设
·按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1传染病模型
问题·描述传染病的传播过程
·分析受感染人数的变化规律
●预报传染病高潮到来的时刻
●预防传染病蔓延的手段
·按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人)i(t)
·每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为λi(t+△t)-i(t)=λi(t)△t
i(t)=ie
t→0→i→0?
必须区分已感染者(病
人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人，
则不能使病人数增加
模型1
假设
建模
di=λi
dt
i(O)=i。
C
1)总人数N不变，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)
2)每个病人每天有效接触人数为λ,且使接触的健康人致病
模型2
假设
建模
-aia-)i(O)=i。
di=λsi
dt
s(t)+i(t)=1
N[i(t+△t)-i(t)]=[λs(t)]Ni(t)△t
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
SI模型
λ~日接触率
-a-
t=tm,dildt最大
tm~传染病高潮到来时刻t→0→i→1?
λ(日接触率)↓→tm个病人可以治愈!
模型2
传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染SIS模型
3)病人每天治愈的比例为μlμ~日治愈率
1/μ~感染期
σ~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
建模N[i(t+△t)-i(t)]=λNs(t)i(t)△t-μNi(t)△t
模型3
增加假设
i(O)=i。
σ=λ/μ
al=λi(1-i)-μi
dt
λ~日接触率
t
接触数σ=1~阈值
σ≤1→i(t)↓
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
ai=λi(1-i)-μiσ=λlμ
dt
σ1
i。
σ1
→i(t)按S形曲线增长i。小
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型3
di/dt
1-1/o
it
O≤1
dildt0
i
模型4
传染病有免疫性——病人治愈
后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设
1)总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)
建模
2)病人的日接触率λ,日治愈率μ,
接触数σ=λ/μ
s(t)+i(t)+r(t)=1
需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程
di=Asi-μi
dt
ds=一λsi
di()=6,s(O)=So
i。+s₀≈1(通常r(O)=r。很小)
模型4SIR模型
N[i(t+△t)-i(t)]=λNs(t)i(t)△t-μNi(t)△t
N[s(t+△t)-s(t)]=-λNs(t)i(t)△t
无法求出i(t),s(t)
的解析解
在相平面s~i上
研究解的性质
相轨线i(s)的定义域
D={(s,i)s≥0,i≥0,s+i≤1}在D内作相轨线i(s)的图形，进行分析
ds--1
is=s。=i。
相轨线
SIR模型消去dt
模型4
σ=λ/μ
模型4相轨线i(s)及其分析
相轨线的方向
s=1/o,i=imt→0,i→0
s满足
P₁:s₀1/^→i(t)先升后降至0传染病蔓延1/0~
P²:s₀1/→i(t)单调降至0传染病不蔓延阈值
SIR模型
●提高阈值1/σ降低o(=Nμ)
λ(日接触率)↓→卫生水平个μ(日治愈率)个→医疗水平个
·降低s₀提高r。
Ins₀-Ins。
S。-S。
忽略i。O=
SIR模型
群体免疫
so+i+ro=1
提高阈值1/·→降低被
传染人数比例x
记被传染人数比例x=s₀-S。
模型4
SIR模型
i₀=0,s₀≌1
xS₀
5.2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术
·建立产值与资金