《数学建模》第8章 离散模型-教学课件（非AI生成）.pptx

第八章离散模型

8.1层次分析模型

8.2循环比赛的名次

8.3社会经济系统的冲量过程

8.4效益的合理分配

y

离散模型

·离散模型：差分方程(第7章)、

整数规划(第4章)、图论、对策论、网络流、.....….

·分析社会经济系统的有力工具

·只用到代数、集合及图论(少许)的知识

·日常工作、生活中的决策问题

·涉及经济、社会等方面的因素

·作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化

·Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

·AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法

8.1层次分析模型

背景

一.层次分析法的基本步骤

例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、

费用、居住条件等因素选择.

目标层O(选择旅游地)

P1P₂P3

桂林黄山北戴河

准则层

方案层

C₁

景色

C₅

旅途

C₃居住

C₂

费用

C₄

饮食

“选择旅游地”思维过程的归

纳决策问题分为3个层次：目标层0,准则层C,

方案层P;每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

·通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

·将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。

层次分析法将定性分析与定量分析结合起来

完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的基本步骤

元素之间两两对比，对比采用相对尺度

设要比较各准则C₁,C2,..,C,对目标O的重要性

要由A确定C₁,...,C.对O的权向量

成对比较阵和权向量

考察完全一致的情况

W(=1)→W₁,W₂,…Wn

令a=w,/w,

w=(w,w₂,…w,)~权向量

成对比较阵和权向量

成对比较的不一致情况A=

1

2

1/2

1

4

7

a₂=1/2(C:C₂)一致比较

a₃=4(C:C₃)a₂₃=8(C:C₃)

不一致

对于不一致(但在允许范围内)的成对

比较阵A,建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量w,即

·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n

·A的任一列向量是对应于n的特征向量

·A的归一化特征向量可作为权向量

成对比较完全一致的情况

满足a,·ak=ak,i,j,k=1,2,…,n的正互反阵A称一致阵，如

·用1~3,1~5,….1~17,...,1P~9P(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9

(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较

阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。

尺度a

1

2

34

5

6

78

9

C,:C,的重要性

相同

稍强

强

明显强

绝对强

成对比较阵和权向量

Saaty等人提出1~9尺度——a;取值

比较尺度a;1,2,...,9及其互反数1,1/2,….,1/9

a;=1,1/2,,...1/9~C₁:C,的重要性与上面相反

已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n

可证：n阶正互反阵最大特征根λ≥n,且λ=n时为一致阵

定义一致性指标：CI=n-1CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模

拟得到a;;,形成A,计算CI即得RI。

Saaty的结果如下

n

123

458

9

10

11

RI

000.580.901.

121.241.321.411.451.491.51

随机一致性指标RI=1.12(查表)

准则层对目标的成对比较阵

最大特征根λ=5.073

一致性指标

方案层对C₁(景色)

方案层对C₂(费用)

….Cn

的成对比较阵

的成对比较阵

…Bn

记第2层(准则)对第1层(目标)

的权向量为w²=(w²),.…,w²)

最大特征根λ₁λ2…A

权向量w₁(3)w₂(3)….wn(3)

同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量

k

1

2

3

4

5

0.595

0.082

0.429

0.633

0.166

0.277

0.236

0.429

0.193

0.166

0.129

0.682

0.142