高等数学微积分--第8节-函数的连续性.pptx
第八节函数连续性
一.连续函数概念
1.改变量
初值
终值
记作:
注
1.改变量可正可负.
2.
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2.连续
定义2.14
设函数
在点
某邻域内
有定义,
自变量改变量
假如
时,
函数改变量
趋于
也趋于
即
,则称
在点
连续.
注
在点
函数
连续几何意义.
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例1证实
在
处连续.
因
证
所以
故
在
处连续.
例2证实
在
处连续.
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例3
证实
在
内任一点连续.
证
在
内任取一点
因
所以
故
在
内任一点连续.
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讨论函数连续另一定义形式
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定义2.15
设函数
在点
某邻域
内有定义,
假如
则称
在点
连续.
注
准确性定义:
设函数
在点
某邻域内
有定义,
假如
对
不论多么小,
总存在
当
时,
恒有
则称
在点
连续.
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连续条件:
有定义
有极限
值相等.
有定义、有极限都是连续
必要条件.
假如
则称
在点
右连续.
则称
在点
左连续.
关系
连续充要条件为左连续且右连续.
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区间连续:
假如函数
在开区间
内
每一点都连续,
则称
在开区间
内连续.
假如函数
在开区间
内连续,
而且
在左端点右连续,在右端点左连续,
则称
在闭区间
上连续.
注
几何意义
两定义分工:
定义(1)普通用于证实题.
定义(2)普通用于详细题判断.
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例4
设
讨论
处连续性.
解
故
在
处连续.
在
即
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例5
讨论函数
处连续性.
解
所以
故
函数
连续.
因
又
从而
在
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例6
求
值
,使函数
在分界点连续
解
依题意得
故
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二、函数间断点
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1.跳跃间断点
例7
解
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2.可去间断点
例8
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解
注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数定义,则可使其变为连续点.
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关于可去间断点附加说明
在
是可去间断点.
因
而
却不存在,
所以间断.
假如将
改成
则
在
连续.
但实际上是
在
连续.
数学上能够经过讨论
处理
问题.
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补充定义方法:
先求极限值,
极限值是几,
就将函数值改成几.
例8
给
补充一个什么数值,
能使
在点
连续.
解
补充
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如例8中,
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点
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3.第二类间断点
例9
解
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例10
解
注意不要认为函数间断点只是个别几个点.
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例11
解
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例12讨论
若有间断点判别其类型，并作出图形
解
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第一类间断点
左右极限存在
左右极限不相等
左右极限相等不等于函数值
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第二类间断点
左右极限最少有一个不存在
左右极限最少有一个为无穷大
左右极限最少有一个振荡
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第一类间断点
跳跃型
无穷型
振荡型
第二类间断点
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三.连续函数性质
假如
和
在点
连续,
则
(1)
在点
连续;
(2)
在点
连续;
(3)
当
时,
在点
连续.
假如函数
在点
连续,
在点
连续,
而且
则
复合函数
在点
连续.
定理2.22
定理2.23
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假如函数
在点
连续,
且
有反函数
则
在点
连续.
主要结论
一切初等函数在其定义区间内
连续.
注
在定义域内不连续.
定理2.24
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问题:
(1)初等函数求连续区间?
(2)初等函数求间断点?
(3)分段函数求间断点?
求极限:
(1)
已知
在点
连续,
则
例13
求
解
原式
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(2)极限符号与函数符号交换
条件:
外函数在内函数极限点处连续.
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例14
求
解
令
则
原式
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例9
求
解
令
则
原式
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作业题
2.习题二(A)29、30、31、32、33、34.
1.熟记连续两个定义及各种题型做法.
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