《高等数学》函数的连续性与间断点.pptx
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《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
1、描述函数在一点连续的概念,列举连续的三个定义式。
2、描述函数在一点左右连续的概念。
3、描述函数在区间上连续的概念。
4、列举间断点的类型,描述其分类标准。
本讲学习目标:
函数的连续性与间断点
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
3)极限值等于函数值。
判断函数在某点是否连续,就从这三方面入手。
有定义吗?
是
极限存在吗?
是
两者相等吗?
是
连续
不连续
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
【例1】讨论下列函数在x=0处的连续性
解:(1)因为f(x)在x=0处无定义,所以f(x)在x=0处不连续。
(2)
f(x)在x=0处不连续。
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
解:因为
f(0)=1
即
所以f(x)在x=0处不连续。
0•有界=0
0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
解:因为
所以函数在x=0处连续。
1
1
又
即
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 变化到终值 ,则称终值与初值的差 为变量 u 的增量(也称改变量),记作△u,即
【注意】:
(2)终值可能大于初值也可能小于初值,所以,增量可以是正的,也可以是负的。
(1)记号△u不是△与u的乘积,而是一个不可分割的整体记号。
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
设有函数y=f(x)
函数y的对应增量为
或
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2、函数在区间上的连续性
连续函数(在区间上连续的函数)
定义3
C: Continue(连续)
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
而
所以有
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2、间断点及其分类
间断点
不连续点
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
间断点的分类
第Ⅰ类间断点
(左、右极限均存在)
第Ⅱ类间断点
(左、右极限至少有一个不存在)
常见
极限存在
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
本 讲 内 容 小 结
间断点
第Ⅰ类间断点
第Ⅱ类间断点
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点
振荡间断点
(包括)
(常见)
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《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
【练习2】判断下列函数在指定点所属的间断点类型:
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
《高等数学》
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