-函数的连续性与间断点高等数学.ppt

函数与极限 第七节　函数的连续性 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结　思考题 一、函数的连续性 注：１．增量可以是正的，也可以是负的,还可为0.　　　　　　△x＞0: 　正增量；　　　　　△x＜0:　 负增量．　　２．函数 f(x) 相应于△x的增量也可以写成：　　　　　△y=f(x0+△x) －f(x0) 二、函数的间断点 三、小结 * * * 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义1′知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 例3. 问a为何值时, f (x)在x=0连续. 解: f (0)=3 = 3 f (x)在 x = 0右连续. 为使f (x)在x=0连续, 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0) 即, a=3. 故, a=3时, f (x)在x=0连续. = a 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 若f (x)在区间I上连续,记作f ∈ C(I )． 例４ 证 1.跳跃间断点 例５ 解 2.可去间断点 例６ 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例６中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点： 3.第二类间断点 例７ 解 例8 解 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例9 解 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) * *