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微积分函数连续性.pdf

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§2.6函数的连续性

1.函数连续性的概念

2.函数的间断点

3.连续函数的运算法则

4.初等函数的连续性

5.闭区间上连续函数的性质

1

2.6.1函数连续性的概念

定义1:设函数在的某邻域内有定义,且

则称函数f(x)在x0连续.

可见,函数在点x0连续必须具备下列条件:

(1)在点有定义,即存在;

(2)极限存在;

(3)

2

例1当a取何值时,

cosx,x0,

函数f(x)在x0处连续.

a+x,x0,

解f(0)a,

limf(x)limcosx1,

x→0−x→0−

limf(x)lim(a+x)a,

x→0+x→0+

要使f(0−0)f(0+0)f(0),a1,

故当且仅当a1时,函数f(x)在x0处连续.

3

1x0,

例2试证函数f(x)xsin,在x0

x

0,x0,

处连续.

1

证limxsin0,

x→0x

又f(0)0,limf(x)f(0),

x→0

由定义1知

函数f(x)在x0处连续.

4

对自变量的增量有函数的增量

函数在点连续有下列等价命题:

limf(x)f(x)limf(x+x)−f(x)0

定义2:0

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