讲函数的连续性中值定理积分.doc

第二讲 函数的连续性 中值定理 积分 一．连续性 定理：设在上Riemann可积，则，使在处连续。 证明：作分划。因在上Riemann可积，取，存在，使 （其中，以下类似定义。） 所以 ，因此至少有三个，使。取使。作区间，则在上Riemann可积。取，存在，使 于是，因此至少有三个，使。 取使。如此继续可以得到一个闭区间套 使得（1）；（2）在上的上下确界满足。由闭区间套定理知。下证在处连续。 事实上，有。而由上述构造过程知，有， 此时 故在处连续。 例1．若可积，则在连续点处恒等于0。 证明：必要性：若在连续，但，则有，于是，矛盾。 充分性：（取连续点）。 例2．求连续函数，使得且。 （答案：。） 例3．问取什么值时函数 （1）处处连续；（2）处处可导；（3）导函数连续？ （答案：（1）；（2）；（3）。） 例4．设在上有定义，在处可导，且满足（1）；（2），则 。 分析：+ ，其中。 二．中值定理 例1．设在上可导，且。证明：对任意正数，必存在内的两个不同的数与，使。（浙江2003年赛题） 证明：设01，令C0=，则0 C01。因且在[0, 1]上连续，由介值性定理存在，使得= C0。现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在，有 。 同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在，有 。 于是 。 命题得证。 三．积分 例1．已知在[0，1]上连续，。求证： [0，1]使得。 证明：假设命题不成立，即有，由已知易得 。 （1）当时，与在[0，1]上连续，矛盾。 （2）当不恒等于4时，即有这样的点使，那么= ，矛盾。 所以命题成立，即[0，1]使得。 求满足下列性质的曲线C：设为曲线上任一点，则由曲线所围成区域的面积A与曲线和C所围成区域的面积B相等。（浙江2003年赛题） 证明：。（浙江2002年赛题） 分析：令。 证明：。（浙江2002年赛题） 分析：令，再利用积分第二中值定理。 例5．。（浙江2003年赛题） 分析：令。 例6．计算 分析：令。 补充的例题见《数学分析中的典型问题与方法》一书。 课外练习题： 设连续，且当时，，求。 （浙江2002年赛题） 求积分。（浙江2002年赛题） 设在上连续，且，，…… ，，，证明：存在，使。 4．设函数在上连续，在内可微，且，证明存在，使得：. 5．已知当时，有，，，证明：。 6．设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. ⑴ 证明：存在唯一的,使得. ⑵ 取何值时两部分面积之和取最小值？ 7．计算 8．设，其中为连续函数，求，并讨论的连续性。 1