不定积分的概念和性质课件.PPT

一、原函數與不定積分的概念

定義：如果在区间I内，可导函数F(x)的

导函数为f(x)，即xI，都有F(x)f(x)

或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)



例sinxcosxsinx是cosx的原函数.

1

lnx(x0)

x

1

lnx是在区间(0,)内的原函数.

x

原函數存在定理：

如果函数f(x)在区间I内连续，

那么在区间I内存在可导函数F(x)，

使xI，都有F(x)f(x).

簡言之：連續函數一定有原函數.

問題：(1)原函數是否唯一？

(2)若不唯一，它們之間有什麼聯繫？



例sinxcosxsinxCcosx

（C為任意常數）

關於原函數的說明：

（1）若F(x)f(x)，則對於任意常數C，

F(x)C都是f(x)的原函数.

（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數，

則F(x)G(x)C（C為任意常數）



證F(x)G(x)F(x)G(x)

f(x)f(x)0

F(x)G(x)C（C為任意常數）

不定積分的定義：

在区间I内，函数f(x)的带有任意

常数项的原函数称为f(x)在区间I内的

不定积分，记为f(x)dx.

f(x)dx被F(x)C

積被積任

積積意

分運分

號函變常

數算數

式數

例1求x5dx.



66

x5x

解x,x5dxC.

66

1

例2求dx.

1x2

1

解arctanx,

1x2

1

dxarctanxC.

1x2

例3設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的

切線斜率等於這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.

解設曲線方程為yf(x),

dy

根據題意知2x,

dx

即f(x)是2x的一个原函数.

2

2xdxx2C,f(x)xC,

由曲線通過點（1，2）C1,

所求曲線方程為yx21.

函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.

顯然，求不定積分得到一積分曲線族.

由不定積分的定義，可知

d

f(x)dxf(x),d[f(x)dx]f(x)dx,

dx

F(x)dxF(x)C,dF(x)F(x)C.

結論：

二、基本積分表



11

xx

實例xxdxC.

1