§1不定积分的概念与性质.ppt

§1 不定积分的概念与性质 定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若 * 上一页 下一页 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 则称F为f 在区间I上的一个原函数 原函数举例 因为(sin x)??cos x , 所以sin x是cos x的原函数. 提问： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？ 上一页 下一页 一、原函数与不定积分的概念 因为 x x 2 1 ) ( = ￠ , 所以 x 是 x 2 1 的原函数 . ( 2 )如果f (x)有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？ 几点说明： 1°原函数存在定理：连续函数一定有原函数. 2°若F(x) = f (x)，则对任意常数C， F(x)+C都是 f (x)的原函数. 如 (sin x)??cos x , 则 (sin x+C)??cos x . 所以原函数的个数有无穷多个. 3°设G(x) 、F(x)是 f (x)的任意两个原函数. 则 G(x) － F(x) = C ( C为常数) 即 任意两个原函数之间相差一个常数 证明：(G(x) － F(x)) ′= G‘(x) －F’(x) = f (x) － f (x) = 0 所 以 G(x) － F(x) = C ( C为常数) 上一页 下一页 定义2 f (x)在区间I上全体原函数成为 f 在 I上的不定积分. 记作 其中f (x)叫被积函数，f (x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号 “ ? ” 叫做积分号. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)?C就是f (x)的不定积分, 即 结论：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C. 上一页 下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例1 求 解： 上一页 下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例2 解 ： 合并得： 上一页 下一页 不定积分的几何意义 2x的积分曲线 若F(x)是f (x)的一个原函数，则称F(x)的图形为f (x)的一条积分曲线， F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的）所得积分曲线组成的曲线轴. 如图f (x)=2x的积分曲线图 函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族 结论： 上一页 下一页 上一页 下一页 二、基本积分表 解 例4 例3 求 解 求 上一页 下一页 性质1 1° 性质2 2° ( k为常数 k≠0） 性质3 证明： 由导数的线性运算法则和不定积分的定义 上一页 下一页 三、不定积分的性质 所以，有： 将性质2、性质3合并可得不定积分线性性质 例5 求 解 上一页 下一页