ch不定积分的概念和性质.pptx

问题: 求导运算是否有逆运算? 它的逆运算是什么？ 讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度;2、已知曲线，求它的切线的斜率。 如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数； 已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。我们把求导的逆运算称为不定积分。积分学--------两个相反的问题微分学定义1 设 定义在区间I上,若存在函数,有则称 是已知函数 在该区间I上的一个原函数（反导数）。§5.1 不定积分的概念和性质一、原函数（反导数）的定义例 设?(x) = cos x,则F(x) = sinx, sinx–1, … , sinx+C.1.原函数存在的条件?问题:2.原函数的个数?3.不同的原函数之间的关系?定理3 设F(x)和G(x)都是函数?(x)的原函数,则 F(x) – G(x)C (常数)定理1 若函数?(x)在区间I上连续, 则?(x)在区间I上的原函数一定存在. (证明略)定理2 设F(x)是函数?(x)在区间I上的一个原函数, 则对任何常数C , F(x) + C也是函数?(x)的原函数。证 因证由拉格朗日中值定理得推论知注: 当C为任意常数时, F(x)是?(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ?(x) 的任意一个原函数, 即：?(x) 的全体原函数所组成的集合， 就是函数族:二、不定积分的定义“∫”亦由莱布尼兹所创，它是德语中“总和”Summe的第一个字母s的伸长。 定义2 函数?(x)的全体原函数称为?(x)的不定积分。记为其中 ∫称为积分号,?(x)称为被积函数,x称为积分变量,?(x)d x 称为被积表达式。结论: 若F(x)是函数?(x)的一个原函数,则C为任意常数, 并称C为积分常数。 例1 求下列不定积分说明：（1）求不定积分就是被积函数的一个原函数.（2）不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记积分常数C.（3）求不定积分的方法称为积分法.例2 已知 的一个原函数是, 求常数k.例3 (a, b为常数且a≠0) . 证 由 知F(x)是f(x)的一个原函数，满足三、不定积分的几何意义 y = F(x )函数?(x)的一个原函数,称 y = F(x) 的图形是?(x)的一条积分曲线;而是?(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是: (1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到. y{y=F(x)|c|(如图)当c0时, 向上移动; 当c0时,向下移动.xxo y(2) 即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为?(x) .y=F(x)从而相应点的切线相互平行.oxx注 :当需要从积分曲线族中求出过点 的一条积分曲线时,则只须把 代入y = F(x) + C中解出C即可.例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点 求此曲线方程。解 设所求曲线为 y = ?(x) , 则故所求曲线为 y = ln|x| + 2四、不定积分的性质性质1 乘积关系证明：证明：注: 微分运算与积分运算是互逆的.是?(x) ± g(x)的原函数. 性质2 性质3 证 即性质3的推广 例5 已知,求函数?(x).解