5.1不定积分的概念和性质.doc

5.1 不定积分的概念和性质 数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量。17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等。 此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积，而在欧洲，对此类问题的研究兴起于17世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法。 由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分。 前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。本模块将介绍不定积分的概念及其计算方法。 一、不定积分的概念 引例1：已知自由落体的运动速度，求自由落体的路程公式． 解　设自由落体的路程公式为．由导数的力学意义可知，速度．联想到，并且常数的导数为０．所以． 于是路程公式为　　　　　（C为任意常数）． 又因当时，代入上式，可得， 故所求的路程公式为　　． 引例2 设曲线上任意一点处的切线斜率为 若这曲线经过坐标原点，求这曲线的方程 解 设所求的曲线的方程为，则曲线上任意一点的切线斜率为 由于曲线经过坐标原点，所以当=0时，=0，因此所求曲求线方程为. 该物理问题是已知速度求路程．抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算．这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题． 定义1 设函数与在区间内有定义，且对任一，都有 或 ， 则称是在内的一个原函数。 例如：，所以是的一个原函数。 ，所以是的一个原函数。 ，所以是的一个原函数。 对于原函数，： 具备什么条件，? 【问题二】若有原函数，? 【问题三】若的原函数不止一个，? 1. 定理1（原函数存在定理） 如果函数在某区间内连续，则函数在区间内的原函数一定存在。 注：由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，因而初等函数在其有定义的区间上存在原函数． 例如 函数是的一个原函数，因为或. 又因为 ， ， ， 其中为任意常数，所以，，，等都是的原函数。 2. 定理2（原函数族定理） 如果是函数在某区间内的一个原函数，则是在区间内的全部原函数，其中为任意常数。 证明见书P85。 注：定理2告诉我们，若函数有原函数，则必有无穷多个，且他们之间只相差一个常数。 注：为一个原函数，那么就是的全部原函数(称为原函数族)，其中为任意常数。 3. 定义2函数在某区间内的全体原函数称为在区间内的不定积分，记作 其中，记号:称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式，称为积分变量。 注：由不定积分的定义知：若函数是在区间内的一个原函数，则有 （为任意常数） 其中称为积分常数。 例如： 由 得 得 得 注： 二. 不定积分的几何意义 函数的原函数的图象称为的一条积分曲线，不定积分表示全体原函数，所以不定积分在几何上表示曲线沿轴上下平移个单位而得到的一族积分曲线． 由性质（１）可知，这一族积分曲线上相对于同一横坐标的点的切线斜率相等，即这些切线互相平行（图4.1）． 注：不定积分表示一族积分曲线，这些积分曲线在点处具有相同的斜率，即在点处这些曲线的切线相互平行。 【例1】设曲线通过点(1，2)，，。 ：，， 处的切线斜率为，： 的一个原函数。 ， 应是该曲线族中的一条，(1，2)，: ， 。 ， 。 1）； （2）； 例如： （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）． 四. 不定积分的性质 由不定积分的定义，： 或 性质2 或 注：性质1和性质2表明，求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算。 【例2】设的一个原函数是，则 ， 【例3】已知，则 性质3 ． 注：性质3 可以推广到有限个函数的情形： 性质4 ． （其中为非零任意常数） 【例4】 求下列不定积分。 (1) . 解 = =