不定积分的概念与性质课件.ppt

不定積分的概念與性質

一、原函數與不定積分的概念

例1已知真空中自由落体运动在任意

时刻t的运动速度为

vv(t)gt(g为重力加速度）

又知當時間t=0時，路程S=0，

求自由落體的運動規律

解：設所求運動規律為S=S(t)

例2

解：設所求曲線方程為

歸納

以上兩個問題，如果除掉物理意

義或幾何意義，可以歸結為同一個

問題，就是已知某函數的導數求這

個函數本身。

即已知

原函數定義

設是F(x)在某f(x區)間上的

一個原函數，則F(x)c

都是在f該(x)區間上的原

函數；並且的f(任x)一原

函數都可表為

F(x)c的形式。

不定積分定義

注

解

1

①lnx(x0)

x

②

f(x)dx被F(x)C

積被積任

積積意

分運分

號函變常

數算數

式數

原函數存在定理

如果函數f(x)在區間I內連續，那麼在區間I記憶體在可

導函數F(x)使xI，都有F(x)f(x)

注①連續函數一定有原函數.

解

②原函數不唯一

③f(x)的全體原函數組成的集合{F(x)CC}

或f(x)dx

求不定積分

由定義可知,求函數f(x)的不定積分,就是求已

知函數f(x)的全體原函數,只要求出f(x)的一個原

函數,再加上任意常數C即可.

由定義知道在例1中求質點的運動問題,就是求

速度v(t)的不定積分,即

s(t)v(t)dt

積分與微分的關

係

二、不定積分的幾何意義

積分曲線族

圖形

三、基本積分表

1

例3求積分dx.

x3

1

解：3

3dxxdx

x

1

x

根據積分公式（2）xdxC

1

x311

CC.

312x2

例4求積分xxdx.

3

解：xxdxx2dx

1

x

根據積分公式（2）xdxC

1

3

1

x2252

Cx2Cx2xC.

3

155

2

三、不定積分的性質

性質1設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

性質2設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

