高等流体力学第2讲.doc
第二讲流体运动微分方程
一、应力张量
作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和外表力两大类。作用在连续介质外表上的外表力通常用作用在单位面积上的外表力——应力来表示，参见图2-1，即
〔2-1〕
式中n为外表积ΔA的外法线方向；ΔP为作用在外表积ΔA上的外表力。pn除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有
需要特别指出，eq\o\ac(○,1)应力pn表示的是作用在以n为外法线方向的作用面上应力，其下标n并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；eq\o\ac(○,2)一般来说，应力pn的方向并不与作用面的外法线n一致，pn除了有n方向的分量pnn外，还有τ方向的分量pnτ。只有当pnτ=0时pn才与n的方向一致；eq\o\ac(○,3)图中ΔA右侧的流体通过ΔA作用在左侧流体上的力为ΔP=pnΔA，而ΔA左侧的流体通过ΔA作用在右侧流体上的力为ΔP=p－nΔA，这两个力互为作用力和反作用力，所以有
可得
pn=?p?n〔2-2〕
图2-
图2-2一点处的应力状态
z
p-y
M
x
y
B
C
A
p-z
pn
n
p-x
n
图2-1pn与n的关系
M
n
ΔP
ΔA
－ΔP
－n
n
pn
pnn
pnτ
M
p?n
为了研究一点处微元面积上的外表力，先在流体中以M为顶点取一个微四面体，如图2-2所示。设MA=Δx，MB=Δy，MC=Δz，ΔABC的法向单位矢量为n，那么
或简写为
〔2-3〕
设ΔABC的面积为ΔS，于是ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面积可分别以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示为
〔2-4〕
四面体的体积可表示为
式中h为M点到ΔABC的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为
当四面体趋近于M点时，h为一阶小量，ΔS为二阶小量，ΔV为三阶小量，略去高阶小量后可得
再考虑式〔2-2〕和〔2-4〕可得
〔2-5〕
上式在直角坐标系中的投影可表示为
〔2-6〕
上式也可以用矩阵形式表示为
〔2-7〕
也可以表示为
式中P=〔2-8〕
称为应力张量。
这里需要着重指出的是：eq\o\ac(○,1)应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如pxy表示它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力px在y轴上的投影分量。eq\o\ac(○,2)应力张量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力pn均可由式〔2-7〕确定。eq\o\ac(○,3)与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。
无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即pij=0〔i≠j〕，此时有
P===?p=?pI
式中I为单位张量，p为流体静压力。
流体力学中，常将应力张量表示为
〔2-9〕
式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即
T=〔2-10〕
偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i＝j时，pij为法向应力，ii=pij?p；当i≠j时pij为粘性剪切应力，ij=pij。ii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，ii≠0的流体称为粘弹性流体。
二、应变张量
u(
u(M)
图2-3一点邻域的速度
M0
M
u(M0)
dr
其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；dr为质心至某点的微元矢量。
在t时刻的连续介质中取出包括点M0〔x，y，z〕的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点M〔x+dx，y+dy，z+dz〕，如图2-3所示。假设点M0的速度为u〔x，y，z〕，当dr=〔dx，dy，dz〕为小量时，M点的速度可用M0的速度的泰勒展开式来表示，即
〔2-11〕
或分量形式
显然，du或(du，dv，dw)是M点相对于M0点的相对运动速度，它可以用矩阵的形式为
〔2-12〕
上式中的方形矩阵可分解为
=R＋D〔2-13〕
上式中