高等计算流体力学讲义6).pdf

高等计算流体力学讲义（6 ） §11 ENO 格式 一、ENO 方法概述 二阶或二阶以上精度的格式可能在间断附近产生振荡（Gibbs 现象），这些 振荡并不会随着网格间距的变小而减小，并经常导致包含间断的非线性问题的 数值不稳定。 早期消除或减小这种间断附近振荡的尝试基本上是基于两种方法：人工粘 性和限制器。前一种方法是增加人工粘性项，通过调节使其在间断附近足够大 以便消除或是减小这种振荡，而在光滑的地方则很小以便保持较高精度。这种 方法的一个缺点是调节过程中包含自由参数，计算结果的好坏与自由参数的取 值有关，而自由参数的“最佳值”往往是与具体问题有关的。后一种方法就是 利用限制器来减小振荡。从效果上看，它降低了在间断附近的精度。使用经过 精心设计的限制器，一维非线性问题或者线性系统可以获得 TVD 性质，这类格 式对于多维线性问题在最大值范数（∞范数）的意义下是稳定的。而且，在限 制器中一般没有多余的参数供调节。这种方法的缺点是在光滑的极值点附近会 降为一阶精度。 ENO （Essentially Non-Oscillatory ）格式是 1987 年由 Harten ， Engquist ， Osher 和 Chakravarthy 等人最先提出的。他们提出的 ENO 思想似乎是第一个获 得具有自相似性（与网格尺度无关）、一致高阶精度而且本质上无振荡的分片 光滑函数插值方法的尝试。ENO 格式特别适合于既包含复杂激波又包含光滑区 域的流场。 自从Harten 等人发表他们的第一篇关于 ENO 的文章以来，他们和许多其 他研究者们继续在研究 ENO 的道路上前进，改进算法和扩大该方法的应用领 域。Shu 和 Osher 发展了基于点的 ENO 重构，时间上用 TVD Runge-Kutta 离散 的方法，对于多维问题该方法可以大大节省计算成本；Liu ，Osher 和 Jiang ， Shu 等人则发展了一维和高维的加权 ENO （WENO ，Weighted ENO ）格式，可 以提高计算精度。在应用方面，ENO 和 WENO 方法已经成功的用于模拟激波 和湍流的相互作用以及直接模拟可压缩湍流运动等方面。人们已经看到，ENO 和 WENO 已经相当广泛的应用于不同的领域。用ENO 和 WENO 解决的问题的 共同特征是含有很强的激波和复杂的光滑区域，低阶精度格式在这方面有着难 以解决的困难，而像ENO 和 WENO 这样的高精度格式就显示出了它们的优 势。 二、一维重构 基于有限体积的 ENO 格式主要解决数据重构的问题，通过本质上无波动的 高阶重构方法，构造高阶的有限体积格式。通常，一维重构问题的提法是： 给定网格 a x 1 =x 3 ... x 1 x 1 b (1) N − N + 2 2 2 2 我们定义单元，单元中心和单元大小为 1 I i [x 1 ,x 1 ]，xi (x 1 +x 1 )，Δxi x 1 =−x 1 ,i 1,2,...,N (2) i− i+ 2 i− i+ i+ i− 2 2 2 2 2 2 并且把最大单元尺寸表示为 Δx max =Δxi