及达朗贝尔原理.ppt

设力Fi作用在刚体上Pi点(i = 1, 2, …, N )，O点是刚体上任选的基点，则Pi点的速度为 自由刚体上任意点的虚位移(速度)可由基点虚位移(速度)和刚体的虚转动位移(角速度)确定，即 ?? — 虚转动位移 力系{F1, F2, …, FN}在这组虚位移上所作的虚功 同理，力系{F1*, F2*, …, FL*}在这组虚位移上所作的虚功为： 由 的任意性可得 * * * * 8.1 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理 法国科学家达朗贝尔1743年提出一个原理，叙述为：质点系的每一个质点所受的主动力、约束反力、惯性力构成平衡力系。数学表达式为 其中 称为惯性力（达朗贝尔惯性力）。 不同于非惯性参考系引起的惯性力。 在不引起混淆时，两种都可以简称为惯性力。 根据达朗贝尔原理，可以将动力学问题转化为静力学问题来求解。这种方法称为动静法。 动静法 动静法的优点 不涉及动力学概念，工程技术人员（处理静力学问题更多）喜欢。 直观，学习力学不多的人也能凭直觉理解。 动静法的缺点 不是解决动力学问题的专门方法 只能解决比较简单的动力学问题 一般需要已知运动 例1 设飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度w转动。试求调速器两臂的张角a。设重锤C的质量为M，飞球A、B的质量各为m，各杆长均为l，杆重可以忽略不计。 选球B为研究对象，加惯性力 解 列平衡方程： S=mlw 2sina 取重锤C为研究对象： 例2 设长为l、质量为m的均质杆，以常角速度w 绕铅垂轴转动，如图所示。求杆与铅垂轴的夹角。 解 惯性力系可简化为一个力： 取OA杆为对象，加惯性力系（三角形分布力系） 惯性力系的简化 惯性力系的主向量 惯性力系的主矩 平面运动的刚体：有质量对称平面的刚体平行于xy平面(含刚体质心C)运动 平动刚体（设质心为C） 定轴转动刚体(设转轴Oz)：刚体有对称平面且绕垂直与对称面的定轴转动 长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。 A ? C vC ? vA 例3 A C Srt Ms mg N SA Srn 解 加速度分析，求惯性力 主动力、约束力和惯性力组成平衡力系 思考题 两个同样的生鸡蛋A和B，A静止，B运动，碰撞后哪个更容易破碎？ 电影中武功高手掷骰子打碎静止的骰子。 例4 C 已知圆盘 质量为m,半径为 r, 沿着倾角为 的斜面, 只滚不滑。求圆盘中心的加速度及摩擦力。 解 (1) 分析受力、分析运动 (2) 加惯性力（惯性力向质心C简化） (3) 建立平衡方程 C A (4) 求解： 例5 已知刚体以等角速度?作定轴转动，求轴承的约束反力 B C A B C A 解 mi 解 A C 解 轴承反力中红色各项为与运动有关的轴承动反力，它们与 ?2 成正比。高速转动时，刚体对轴承的动压力可达静压力的数百倍 轴承动反力反映了刚体对转轴的动力不对称性 转子的动平衡 C A B m m C A B m m D 简化模型 当转轴是质系对称轴且通过质心时，轴承动反力为零。 A B m m 加惯性力，画受力图 转子的静平衡与动平衡 动不平衡的转子 附加质量以改变整个转子的质量分布，使转轴成为中心惯性主轴 对转子进行动平衡 转子动平衡实验 8.2 达朗贝尔-拉格朗日原理 达朗贝尔-拉格朗日原理 设质点系的质点Pi受主动力Fi的作用，质点系的约束都是理想、双面约束，可能运动ri = ri(t)是真实运动的充分必要条件是： 动力学普遍方程 在历史上，拉格朗日是在虚功原理和达朗贝尔原理基础上提出的该原理。 从现代视角，虚功原理可看成该原理特殊情况。 该原理与达朗贝尔原理（动静法）等价，也与牛顿定律等价。 牛顿定律 对理想约束 与牛顿定律的关系 由理想约束的定义和达朗贝尔-拉格朗日原理： 用约束反力代替约束后，质系就变成了自由质点系，所有虚位移都是相互独立的，故 力系等效定理的证明 如果在一个质点系上分别作用两个不同的力系，它们对此质点系作用效果相同，则称这两个力系对此质点系等效。 根据达朗贝尔-拉格朗日原理，两力系等效的充分必要条件：它们在质点系的任意一组相同的虚位移上所做的虚功都相等，即 * * *