高中数学《直线的方向向量及平面的法向量》导学案.pdf

第三章空间向量与立体几何

SANZHANG3.2立体几何中的向量方法

3.2.1直线的方向向量及平面的法向量

卜课前自主预习

某］基础导学

1.用向量表示直线的位置

直线1上一点A

条件

表示直线/方向的向量m即直线/的回方向向量)

在直线Z上取AB=a,那么对于直线/上任意一点P,一定存在实数

形式

t使得帝=回语

定位置点A和向量a可以定直线的位置

作用

定点可以具体表示出/上的任意一点

2.用向量表示平面的位置

(1)通过平面a上的一个定点和两个向量来定

条件平面a内两条勤隧直线的方向向量a,方和交点。

形式对于平面a上任意一点P,存在有序实数对(x,y),使得徐=回xa+vb

(2)通过平面a上的一个定点和法向量来定

平面的法向量园直线直线,的方向向量,叫做平面a的法向量

定平面位置过点A,以向量a为法向量的平面是完全定的

3.空间中平行、垂直关系的向量表示

设直线/,〃2的方向向量分别为a,5，平面a,4的法向量分别为小V,则

线线平行1//加=»囱4〃♦0回a=H(AGR)

线面平行1//a台网a_L〃台码比〃=0

面面平行a//60四“〃一•回“=kv(k£R)

线线垂直一台园台回“0=0

线面垂直1J_a台画a〃〃台回a=%(2£R)

面面垂直aJ_®〃~LP0回〃.-=0

京]自诊小测

1.判一判(正的打“J”，错误的打“义”)

(1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向量宓都可作为该直线的方向向

量.()

(2)若向量孙，〃2为平面a的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重

合直线一定平行.()

(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平

行.()

(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.()

答案(1)J(2)(3)(4)

2.做一做(请把正的答案写在横线上)

(1)若点A(—1,0,1),3(1,4,7)在直线/上，则直线/的一个方向向量的坐标可

以是.

(2)已知a=(2,-4,-3)=(1,-2,-4)是平面a内的两个不共线向量.如

果〃=(1,加，〃)是。的一个法向量，那么,n=.

(3)(教材改编Pio4T2)设平面a的法向量为(1,3,-2),平面§的法向量为(-2,

-6,k),若a〃[3,则攵=.

(4)已知直线6，L的方向向量分别是S=(L2,-2),上=(一3,-6,6),则

直线/”L