2024年新教材高中数学第六章平面向量初步2.3第1课时直线上向量的坐标及其运算学案新人教B版必修第二册.docx
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直线上向量的坐标及其运算平面对量的坐标及其运算
1.驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面对量的加法，减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面对量共线的条件．
第1课时平面对量的坐标及运算
新知初探·自主学习——突出基础性
学问点一直线上向量的坐标
1．对于直线l上的随意一个向量a，肯定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
状元随笔值得留意的是，假如直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向．事实上，此时
|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；
而且：当x0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x0时，a的方向与e的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OA＝x1e，OB＝x2e，因此AB＝OB－OA＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝|AB|＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则OM＝12(OA＋OB)＝x1e+x2e2＝x1+x
学问点二正交分解
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，假如它们所在的直线相互垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了便利起见，规定零向量与随意向量都垂直．
2．正交分解
假如平面对量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
学问点三平面对量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，假如a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
状元随笔1.对平面对量坐标的几点相识
(1)设OA＝xi＋yj(O为坐标原点)，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面对量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区分开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
学问点四平面对量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝____________________，
a－b＝____________________，
λa＝(λx1，λy1).
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________________．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
基础自测
1.数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，AB的坐标为()
A．3B．(3，0)
C．－3D．(－3，0)
2．已知M(2，3)，N(3，1)，则NM的坐标是()
A．(2，－1)B．(－1，2)
C．(－2，1)D．(1，－2)
3．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则B
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1直线上向量的运算与坐标表示[教材P159例3]
例1设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求：
(1)向量AB的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标．
【解析】(1)由题意得OA的坐标为3，OB的坐标为－7，又因为AB＝OB－OA，所以AB的坐标为－7－3＝－10，而且
AB＝|AB|＝|－10|＝10.
(2)设线段AB中点的坐标为x，则
x＝3+(-7)_2＝－
教材反思
数轴上A点坐标x1，B点坐标x2
(1)则AB坐标x2－x1，|AB|＝|x2－x1|
(2)线段AB的中点坐标x
跟踪训练1数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为()
A．－1B．－8
C．4D．1
题型2求向量的坐标[经典例题]
例2如图，分别用基底{x，y}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
结合坐标系，写出a、b、c、d的坐标．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练2在直角坐