2024_2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步1.4_1.5数乘向量向量的线性运算练习含解析新人教B版必修第二册.docx
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数乘向量向量的线性运算
必备学问基础练
1.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则()
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
答案A
解析=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.
2.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是()
A.4 B.3 C.2 D.1
答案C
解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必肯定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必肯定有m=n.
3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()
A. B.
C. D.
答案A
解析如图,=-
=-)
=
=)
=.
4.已知△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的()
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
答案D
解析设D为BC中点,则=2,
∴=2λ,即点P在中线AD上,
可知点P的轨迹必过△ABC的重心,
故选D.
5.(2024山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满意+4=0,则△ABC和△AOC的面积比是()
A.2∶1 B.4∶1 C.6∶1 D.8∶1
答案C
解析在△ABC中,O为其内部一点,且满意+4=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,
则=2,且S△ABC=2S△ACD,
∴2+4=0,∴C,O,D三点共线,且OD=2OC,∴3S△AOC=S△ACD,∴6S△AOC=S△ABC,
∴S△ABC∶S△AOC=6∶1.
6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是()
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
答案AC
解析分别表示与a,b同向的单位向量.
对于A,当2a=b时,;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;
对于C,当a=2b时,;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.
综上所述,使成立的条件是a=2b,2a=b.
7.在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形态为.?
答案等腰梯形
解析由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||,
所以四边形ABCD为等腰梯形.
8.已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=.?
答案
解析因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此.
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解∵)=(a+b),
∴(a+b),
∵b,∴=-a+b.
(2)证明由(1)知=-a+b,
=-a+b=-a+b,
∴.∴共线.
又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.
关键实力提升练
10.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是()
A.a=5e1,b=7e1
B.a=e1-e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-e2,b=3e1-e2
答案ABD
解析对A,a与b明显共线;对B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对D,b=3=3a,所以a与b共线.
11.(多选题)正五角星是一个特别美丽的几何图形,且与黄金分割有着亲密的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中不正确的是()
A. B.
C. D.
答案BCD
解析在A中,,故A正确;在B中,,故B错误;在C中,,故C错误;在D中,,若,则=0,不合题意,故D错误.故选BCD.
12.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同始终线上.”这就是闻名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)=2;(2)=0;(3)=2;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为()
A.1 B.2
C.3 D.4
答案D
解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;
对于(2),依据三角形的重心性质得=0,(2)正确;
对于(1)(3),