备战2024高考数学模拟题分类汇编（上海专版）-导数及其应用（解析版）.docx
备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）——导数及其应用
一、填空题
1．（23·24上·宝山·阶段练习）一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中s（单位：厘米）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为cm/s.
【答案】0
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中可求得结果
【详解】由，得，
所以小球在时的瞬时速度为.
故答案为：0
2．（23·24上·虹口·期中）函数在区间上的最大值是.
【答案】
【分析】利用导数判断的单调性，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：.
3．（23·24上·静安·阶段练习）若,则.
【答案】1
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】由题意，
又，故.
故答案为：1
4．（23·24上·奉贤·阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为．
【答案】1
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【详解】因为，
故.
故答案为：1
5．（23·24上·嘉定·阶段练习）若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有.
①；②；③；④
【答案】
【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数的定义域为，
，
又函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
故方程有两个不等的正根，
于是，则，
所以即.
故②③④正确.
故答案为：②③④.
6．（23·24上·静安·期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.
【答案】
【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可.
【详解】因为函数在区间上是单调函数，
则在上有或恒成立，
当时，即，则，
当时，即，则，
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
7．（23·24上·静安·期中）函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是.
【答案】
【分析】求得，令，分析函数在的单调性，利用函数在区间上存在极值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则，
令，则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
因为函数在上存在极值，则，解得.
故答案为：.
8．（22·23·徐汇·三模）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上.若.则实数的取值范围为.
【答案】
【分析】构造，确定函数为偶函数，确定函数的单调区间，变换得到，即，解得答案.
【详解】设，则，
，即，
故，函数为偶函数，
当时，，函数单调递增，故当时，函数单调递减，
，即，
即，故，解得.
故答案为：.
9．（23·24上·浦东新·开学考试）若函数，则不等式的解集为.
【答案】
【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性，得出的性质，从而求出结果.
【详解】由，得到，
令，易知，
且，
故为奇函数数且在上单调递增，
又易知图像可由的图像向右平移1个单位得到，
故关于中心对称且在上单调递增，
由，得到，
所以，即，得到，
故答案为：.
10．（23·24上·松江·阶段练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是．(填序号)
①是的一个周期；???????????②在上是增函数；
③的最小值为；????????????④在上有3个零点．
【答案】①③④
【分析】分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期为，即可判断①选项；设，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断②③④选项.
【详解】解：因为：，
的最小正周期是，的最小正周期是，
所以的最小正周期是，故①正确；
由题可知，取一周期，不妨设，
由，
令得，，，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以在，上单调递增，在上为单调递减，故②不正确；
由于，，
所以的最小值为，所以③正确；
因为在，上单调递增，在上为单调递减，
，，所以在上有3个零点，故④正确.
故答案为：①③④
11．（23·24上·浦东新·阶段练习）已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为.
【答案】4
【分析】令，利用导数可求其最小值，根据最小值大于等于0可得，设，利用导数讨论其单调性后可求实数m可取的最大整数值.
【详解】由题设可得对任意的恒成立，
设，则，
若，则恒成立，故在上为增函数，
故，
由在上恒成立，故即.
若，则当时，，
当时，，
故在上为减函数，在