2025版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语4.2充要条件学案新人教A版必修第一册.docx
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充要条件
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解充要条件的意义.
2.会推断一些简洁问题的充要条件.
3.能对充要条件进行证明.
1.数学抽象——会用定义推断充要条件.
2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
假如“若p，则q”和它的逆命题“①若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作②p?q.此时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.明显，假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，假如p?q，那么p与q互为充要条件.
自主思索
1.由“p:x∈A”是“q:x∈B”的充要条件，能否得出A=B？
答案：提示可以提出A=B.若x∈A?x∈B，则A?B，反之B?A，故A=B.
名师点睛
1.命题p与q的四个关系
（1）若p?q，则p与q互为充要条件.
（2）若p?q，但q?p，则p是q的充分不必要条件.
（3）若q?p，但p?q，则p是q的必要不充分条件.
（4）若p?q，且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件.
2.留意区分A是B的充分不必要条件（A?B且B?A）；与A的充分不必要条件是（B?且A?B）两者的不同.
3.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分：
（1）p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
（2）p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
互动探究·关键实力
探究点一充要条件的推断
精讲精练
例指出下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.
（1）p:x2＞0
（2）p:a能被6整除，q:a能被3整除；
（3）p:两个角都是直角，q:两个角不相等；
（4）p:A∩B=A，q:?
答案：（1）p:x
则x＞0或x＜0，q:x＞0，
故p?q，q?p，
故p是q的必要不充分条件.
（2）p:a能被6整除，故也能被3和2整除，q:a能被3整除，故p?q，q?p，
故p是q的充分不必要条件.
（3）p:两个角都是直角，则这两个角相等，
q:两个角不相等，则这两个角肯定不都是直角，
即p?q，q?p，
故p是q的既不充分也不必要条件.
（4）因为A∩B=A?A?B??
所以p是q的充要条件.
解题感悟
充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理推断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来推断.
迁移应用
1.设A，B，U是三个集合，且A?U，B?U则“x∈(?UA)∩(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：∵(?
∴“x∈(?UA)∩(
2.指出下列各题中p是q的什么条件.
（1）p:两个三角形相像；q:两个三角形全等；
（2）p:一个四边形是矩形；q:四边形的对角线相等.
答案：（1）因为两个三角形相像?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相像，
所以p是q的必要不充分条件.
（2）因为矩形的对角线相等，所以p?q.
又对角线相等的四边形不肯定是矩形，所以q?p，所以p是q的充分不必要条件.
探究点二充要条件的证明
精讲精练
例求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.（这里
答案：证明必要性：
因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c，
所以ab+ac+bc=a
充分性：
由a2+b2+c2=ab+ac+bc两边同时乘2得，
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2
解题感悟
充要条件证明的策略
（1）要证明p是q的充要条件，须要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明p与q的解集是相同的.提示:证明时肯定要分清充分性与必要性的证明方向.
迁移应用
1.求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
答案：证明①充分性：假如b=0，那么y=kx(k≠0)，
当x=0时，y=0，该函数的图象过原点.
②必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，
所以当x=0时，y=0，
则0=k?0+b，
所以b=0.
综上，一次函数y=kx+b(k≠0