概率论一维随机变量及其分布.ppt

例2.3.5 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高X服从?=170cm, ?=6cm的正态分布，即X～N(170，62)，试确定车门的高度。 解 设车门的高度为hcm，根据设计要求应有 P(X＞h)≤0.01，则 1-P(X≤h)≤0.01 即 P(X≤h)≥0.99 由于X～N(170，62)， 例2.3.6 (估计股价变化幅度)设某支股票的初始价格为S0=40元，预期收益率μ为每年16%，波动率σ为每年20%。在Black-Scholes模型下(Black和Scholes为1997年诺贝尔经济学奖得主)，股票在每个时刻t的价格St为随机变量，且 其中 试估计六个月后这支股票的价格范围(允许出错的概率为5% ) 解 六个月即t = 0.5年，所以由题设有 例 从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(60,16)。 (1) 如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ (2) 如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？ 解 2.4 一维随机变量函数的分布 在许多情形下，当随机变量X的分布律或密度函数fX(x)已知时，需要求出X的函数Y=f(X)的分布律或密度函数fX(x)的函数 fY (y)。 为了使Y有分布，要求Y是随机变量，因此对函数Y=f(X)也必须有一定的要求。 为简单起见，只讨论f(X)是连续、分段连续或单调的情形，在这些情形下，如果X是随机变量，则Y＝f(X)也是随机变量。 在一些具体的分布中，可以了解解决这类问题的基本方法——将与Y有关的事件转化成X的事件。 离散型随机变量函数的分布 设随机变量 X 的分布律为 由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y 的概率分布律为 即yi的每个概率值为X的函数值等于yi的那些概率值pk的和。或Y的概率分布列为(若某些f(xi)相等，同值项概率相加)为 例 设X的分布列为 试求函数Y?X2，Z?2X-1，W?|X|+1 的分布列。 解 对于Y?X2， Y可取4， 1， 0，且 对于Z?2X-1，Z可取-5, - 3, - 1, 1, 3，且 对于W?|X|+1， W可取3，2 ，1， 且 上例可用表格表示: P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X -2 -1 0 1 2 Y=X2 4 1 0 1 4 Z=2X-1 -5 -3 -1 1 3 W=|X|+1 3 2 1 2 3 合并函数值相同项的概率值，得 Y=X2 0 1 4 P 0.2 0.4 0.4 Z=2X-1 -5 -3 -1 1 3 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 W=|X|+1 1 2 3 P 0.2 0.4 0.4 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数，求 Y = g( X ) 的密度函数 方法： (1) 从分布函数着手，先求出f(X)的分布函数，再对分布函数求导，得到f(X)的密度函数。 (2) 用公式直接求密度函数。 连续性随机变量函数的分布 例 设随机变量X具有概率密度fX(x) ，(-∞x+∞)，求Y=X2的概率密度。 解 分别记X、Y的分布函数为FX(x) FY(y)。先求Y=X2的分布函数FY(y)。因为Y=X2≥0,故当y≤0时,FY(y)=P(Y=X2≤y)=0， 例 设连续型随机变量X的密度函数为fX?x?，试求Y=aX+b的密度函数fY(y)，其中a，b是常数，且a?0。 解 设Y的分布函数为FY(y)，Y的密度函数为fY(y)。 当a＞0时，有 当a＜0时，有 例 设随机变量X～N(?,?2), 求 的密度函数?Y(y)。 解 由于X～N(?,?2)的密度函数是 利用上例结果，得 可见，当X～N(?, ?2)时，则 , 表明服从任一正态分布的随机变量必定可以标准化(服从一般正态分布的随机变量经标准变换后服从标准正态分布)。 书面作业 P48~P50 2.1 2.14