概率论多维随机变量及其分布详解.ppt

二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似: 结论: 若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密 度函数的卷积. 例1. (P86)设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1), 求:Z=X+Y的分布密度. 结论: (二) 商(Z=X/Y)的分布: 当X,Y相互独立时,则有 (三) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布: 设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布. 推广: 设X1,X2,…,Xn相互独立,分布函数分别为 F1(x), F2(x),…,Fn(x), 则M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z)· F2(z)…Fn(z) N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z)) 特别地, 当X1,X2,…,Xni.i.d.时, 设分布函数为F(x), (四) 用“分布函数法”导出两r.v. 密度函数的要点: * * 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 1、二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由 它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v. 注: 二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系. 如何描述二维r.v.(X, Y)的统计规律? 2. 二维r.v.(联合)分布函数: 图2 若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1) 图1 1、F(x,y)是 x 和 y 的不减函数。 3、F(x,y)分别关于x，y右连续。 3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v. (一) 二维离散型r.v. 例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1~X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的 分布律. 二维离散随机变量分布律 (二) 二维连续型r.v. §2. 边缘分布 一、边缘分布函数： 二、边缘分布律： 例1(续) Y 1 2 3 4 p?j 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi? X 1/4 1/4 1/4 1/4 25/48 13/48 7/48 3/48 1 三、边缘概率密度: 注: 由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合 分布可唯一地确定X和Y的边缘分布, 反之, 若已知 X,Y的边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布. §3. 条件分布 一、二维离散型r.v.的情况: 例1. 设(X, Y)的分布律为: Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在X=1时Y的条件分布律. X 用表格形式表示为: k 0 1 2 P{Y=k|X=1} 6/9 2/9