概率论于数理统计学习.ppt

每张彩票平均可赚 每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为 案例2 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则 存入银行的利息: 故应选择投资. 据统计65岁的人在10年内正常死亡 解 案例3 的概率为0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险 公司开办老人事故死亡保险, 参加者需交纳 保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿 a 元, 应如何定 a , 才能使公司可期望获益; 若有1000人投保, 公司期望总获益多少? 设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得 的收益, i =1~1000 . 则 Xi ~ 0.98 0.02 100 100 由题设 公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望总获益40000元. 案例4　分组验血 解 例如, 解 案例5 案例6 解 * * 概率论与数理统计 * 4.1 随机变量的数学期望 引例( 射击问题)设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 命中环数 k 命中次数 频率 4.1.1 数学期望的概念 解 平均射中环数 设射手命中的环数为随机变量 X . 平均射中环数 频率随机波动 随机波动 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 这是以频率为权 的加权平均 这是以概率为权 的加权平均 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 数学期望的概念源于此 设 X 为离散 r.v. , 其分布为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望, 记作 E( X ), 即 绝对收敛, 则称 定义1 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量 X 的数学期望 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望, 记作 E( X ), 即 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是r.v. 定义2 例1 X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) . 解 例2 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 常见r.v.的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 U(a,b) E(?) N(?,? 2) 注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在! (1) 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛，则 (2) 设连续 r.v. 的 d.f. 为 f (x) 绝对收敛, 则 若广义积分 4.1.2 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 (3) 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 Z = g(X ,Y ), 绝对收敛 , 则 若级数 (4) 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则 若广义积分 例4 设 (X ,Y ) ~ N (0,0,1,1,0), 求 的数学期望. 解 4.1.3 数学期望的性质 1o E (C ) = C 2o E (aX ) = a E (X ) 3o E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 4o 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 常数 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y )