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概率论与数理统计—学习笔记八 主 题： 《概率论与数理统计》学习笔记 学习时间：整学期 《概率论与数理统计》学习笔记八 ——随机变量的数字特征 由2,3 两章的讨论可知，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。但在 实际问题中，求一个随机变量的分布函数往往不是一件容易的事情，有时甚至是 不可能的，而有些实际问题，只要求知道描述随机变量的某些概率特征，并不需 要知道其分布函数。例如在分析某种型号的日光灯的质量情况时，常常只需知道 日光灯的平均寿命，以及日光灯的寿命与平均寿命的偏离程度，如果平均寿命长 且各日光灯的寿命与平均寿命偏离程度小，这批日光灯的质量就好。可见平均寿 命和偏离程度这两个特殊的数都从某一侧面反映了日光灯寿命这个随机变量的 某些重要特征，此外，某些分布类型已知的随机变量，只要知道它们数字特征就 可以完全确定其分布规律（如正态分布、泊松分布等）。因此随机变量的数字特 征在理论研究和实际应用中都具有重要意义。 本章将介绍常用的最重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和各阶矩。 一． 离散型随机变量的数学期望 引例：今有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表给出： 甲射手 乙射手 击中环 击中环 8 9 10 8 9 10 数 数 概率 0.3 0.1 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 试问哪位射手技术水平较高？ 这个问题的答案不是一眼就看得出的，这说明分布列虽然完整地描述了随机 变量，但是却不够 “集中”地反映出它的变化情况。因此我们有必要找出一些量 来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。 上述例子中，若使两射手各射 N 枪，则他们打中环数大约是： 甲：8 ×0.3N ＋9 ×0.1N ＋10×0.6N ＝9.3N 乙：8 ×0.2N ＋9 ×0.5N ＋10×0.3N ＝9.1N 平均起来，甲每枪射中 9.3 环，乙射中 9.1 环，可见甲射手的技术水平较高。 同时我们看到这种反映随机变量取值 “平均”意义特征的数值恰好是：这个 随机变量一切可能取值与相应概率乘积总和。因此我们可把这乘积之和作为刻画 随机变量取值的平均的数字特征，称为均值或数学期望。 ∞ 1．定义 设随机变量X 的分布列为P {X x } P , i 1, 2,L，若 x p 绝对收敛， i i ∑ i i i 1 则称其为X 的数学期望或均值，记为EX x p 。 ∑ i i i 概率论与数理统计—学习笔记八 注：① 定义中对级数要求绝对收敛，是因各 顺序对随机变量不是本质的， xi 因而在数学期望的定义中就应允许改变xi 的顺序而不影响其收敛性及其和值，这 在数学上就相当于要求级数绝对收敛。 ② 数学期望作为随机为变量取值的平均是以概率加权平均。 2 ．重要分布的