概率论与数理统计学习笔记六.pdf

概率论与数理统计—学习笔记六 主 题： 《概率论与数理统计》学习笔记 学习时间：整学期 《概率论与数理统计》学习笔记六 ——二维随机变量（二） 一、 二维连续型随机向量及其联合概率密度 定义：设 （X,Y）为二维随机向量，F(x,y)是其分布函数,若存在 f(x,y)≥0,使得 对于任意实数 x,y 都有 x y F (x , y ) ∫ ∫ f (u,v)dudv, −α −α 则称（X,Y）为二维连续型随机向量，并称 f(x,y)为（X,Y）的联合概率分布密 度函数，简称为（X,Y）的联合概率密度。 联合概率密度的性质 f(x,y)≥0 ∞ ∞ ∫ ∫ f (x , y )dxdy 1 −∞ −∞ ∂2F (x, y ) 若 f(x,y)在（x,y）连续，则f (x , y ) . x y ∂∂ 设G是x y 平面上任一区域，则p {(X , Y) ∈G} f (x , y )dxdy. 0 ∫∫ G 例 2 设 G 是平面上的有界区域，具有面积 A,若(X,Y)具有概率密度 1 , (x , y ) ∈G A f(x,y)= 0 , 反之 则称（X,Y）在 G 上服从均匀分布 例 3 设(X,Y) f(x,y): −(x +y ) e ， x0,y0 f(x,y)= 0 , 其它 求：（1）（X,Y）的分布函数F(x,y) (2)（X,Y）落在如图所示三角域 G 内的概率 x y 解 （1）F (x , y ) ∫ ∫ f (u,v)dudv −∞ −∞ x y −( + ) ∫∫ e u v dudv ， x0,y0 0 0 = 0 其它 （1−e−x )(1−e−y ) ， x0,y0 = 概率论与数理统计—学习笔记六 0 其它 1 1−x − − − （2）P {(X , Y) ∈G} f (x ,y )dxdy dx e x e y dy 1−2e 1