线性代数矩阵过程稿.PPT

线性代数 马 昕 控制科学与工程学院 maxin@sdu.edu.c806 线性代数 1.内容简介 行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论基础。 德国的Leibniz在十七世纪就 有了行列式的概念。 法国数学家Vandermonde是第一 个对行列式理论做出连贯的逻 辑阐述的人。 英国的Cayley 被公认为矩阵 论的创立者。 线性代数前言 矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、经济学中有大量应用的数学分支。 矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。 2.课程特点 抽象性强，应用性强。 以离散变量为研究对象。 3.教学组织 以课堂教学为主。 注重讲解。 抓紧课下的学习、答疑与练习。 4.学习要求 在基本概念上下功夫。 勤于思考，勇于探索。 培养能力。 认真听讲，独立完成作业。 5.教学参考书 大学数学学习指南——线性代数 山东大学出版社出版 多 做 练 习 啊 ！ 矩阵的概念 1.矩阵的定义 方程组 系数排成一个矩形数表 这就是 矩阵 由m?n个数按一定的 次序排成的m行n列的 矩形数表称为m?n矩 阵,简称矩阵. 横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列 称为矩阵的第i行j列的元素. 元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵. 矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如 简记为 行矩阵 列矩阵 脚标 当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同 时,称矩阵为方阵。 主对角线 几种特殊形式的矩阵 零矩阵 对角矩阵 标量矩阵 单位矩阵 6.梯形阵 设 (若零行全在非零行的下面) 且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后) 面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为 上(下)阶梯形矩阵.简称为上(下)阶梯形阵. 它们统称为梯形阵 上三角形矩阵 下三角形矩阵 它们是梯形阵吗? 不是! 请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义. 梯形阵是最常用的矩阵! 矩阵的运算 一、线性运算 1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即 = 型号相同 对应元素相等 2.加、减法 设矩阵 与 定义 显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O 负矩阵 的负矩阵为 记作 -A,即 3.数乘 称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA 矩阵的乘法 与 一般地，有 = = O 显然 这正是 矩阵与 数的不同 但是 这又是 矩阵与 数的不同 请记住： 1.矩阵乘法不满足交换律； 2.不满足消去律； 3.有非零的零因子。 结合律 左分配律 右分配律 k为常数 方阵的正整数幂 问题 成立的 条件? 矩阵的转置 请记牢! AB=BA = 也就是 = 对称阵与反对称阵 任一方阵都可以分解成 对称阵与反对称阵的和. 例1:设矩阵A与B为同阶对称阵，证明AB是对称 阵的充要条件为AB=BA. 证： 例2：求矩阵的幂 作业： P54 1.填空题（1,2,3,） 2.选择题（3,4,5,6） 3.计算题（1,2,3,4） 4. 5.