线性代数矩阵的运算特殊矩阵.ppt

* 【回顾】矩阵的运算 1．矩阵的加法、减法 设有两个m×n 阶矩阵 A= ,B= 则矩阵 A与B的和、差，规定为 即对应元素相加 即对应元素相减 2．数与矩阵的乘法 设 , 3、矩阵乘法 矩阵的乘积 … … … …. … AB = 不满足交换律 4．矩阵的幂及其性质 定义：设A 为n 阶方阵，k, l 为常数, A 的 k 次幂为 (2) 性质： 四、矩阵的转置 1.定义3.3 将矩阵A的行列互换得到B，称 A、B 互为转置矩阵 ，即 A 的转置矩阵记做 . 例： 与转置矩阵 元素之间的关系: 2．性质 (1) (2) (3) (4) 推广： (5) 求证： 证明: 设 记 1° 证明 P 与 Q 为同阶矩阵 = AB 为m×n阶矩阵 , 为n×m阶矩阵 ＝ Q 也为n×m阶矩阵 2° 证明对应元素相等 pij是AB中j行i列元素，即A中第j行元素与B中第i列元素的乘积之和 qij是BT中第i行与AT中第j列的积，即B中第i列与A中第j行元素乘积之和。 五、n 阶矩阵的行列式 1．方阵 A 构成的行列式： 例如 2．矩阵的行列式的性质 设A、B 均为 n 阶矩阵，k 为常数，则有 (1) (2) (3) 证明略，举例说明 推广： 练习 而 所以 【注】对于非方阵，此性质不一定成立。 例 例 设 分析 §3.2 几种特殊的矩阵（都是方阵） 一．对角矩阵 形如 即所有非主对角线上元素均为0的矩阵，称为对角矩阵，常简记为 二．数量矩阵 形如 即主对角线上元素全相等的对角矩阵 n aE = 即任何矩阵与数量矩阵相乘，仅相当于乘一个数，这也是数量矩阵名字的来源。 三． 三角形矩阵 形如 称为三角形矩阵。 其中A称为上三角形矩阵， B称为下三角形矩阵， 特点是当i＞j , aij=0. 特点是当i＜j, bij=0. 若A、B为对角矩阵，则 A+B, A-B, kA, AB 仍为对角矩阵 【注】对角矩阵、数量矩阵、三角形矩阵具有的性质 1) 2) 3) *