线性代数（第5版)课件：矩阵运算.ppt

机动目录上页下页返回结束*线性代数主要内容矩阵的概念矩阵的加法数乘矩阵矩阵的乘法方阵的幂矩阵的转置矩阵的概念与运算方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关.线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件.引入数域概念:定义设F是一数集,.若F中任意两个数(可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F中的数,即F对四则运算封闭,则称F为一个数域.全体整数组成的集合不是数域。有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域.本课程的数域F均指实数域R或复数域C,其它数域在本课程中不进行深入讨论.数域一、矩阵概念1.定义：数表1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵.2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵.3)行矩阵:m＝1A=(a1a2…an),又称为n维行向量.4)列矩阵:,又称为m维列向量.n＝12.矩阵相等1)行、列数分别相同;2)对应元素相等零矩阵:O；语数英物化李群尚环左模负矩阵–A例1某物资(吨)两产地运往三销地,两次调运方案分别为矩阵从各产地运往销地两次的总调运量为矩阵C＝＝A+B记二、矩阵的加法1.定义[注]行、列数分别相同，才能相加．2.性质2)(A+B)+C=A+(B+C)3)A+O=A4)A+(-A)=A-A=O1)A+B=B+A例2上例两产地到三销地的里程(公里)为矩阵运送某物资每吨公里运价为10元,两产地到三销地间的每吨运价为矩阵B(单位:元/吨),则记＝三、数乘矩阵1.定义2.性质1)k(lA)=(kl)A2)k(A+B)=kA+kB3)(k+l)A=kA+lA4)1A=A例3?设,3A=2(B+X),求X解：X=(3A－2B)例4三工厂I、II、III生产甲、乙两产品.矩阵A表示某年产量(知),B表示各产品的单位价格及单位利润(知),C表示各工厂的总收入和总利润(求).则记＝?AB四、矩阵的乘法润i=1,…,m;j=1,…,n两个矩阵能相乘的条件?积矩阵的行、列数?cij＝ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj1.定义其中[注]矩阵A与B可作乘法运算ABA的列数＝B的行数.i=1,…,m;j=1,…,n2.性质1)(AB)C=A(BC)2)k(AB)=(kA)B=A(kB)3)A(B+C)=AB+AC4)(B+C)A=BA+CA例5设,求AB、BA13-26解:303030171（1）矩阵乘法不满足交换律.AB(B右乘A)有意义,BA未必有意义,即使AB、BA都有意义,一般AB≠BA.矩阵A与B可交换AB＝BAA、B为同阶方阵.例6设，求AB，BA解：特别提示（2）A≠O且B≠O但可能有AB=O例7设,求AB,AC但B≠C，且A≠O（3）矩阵乘法不满足消去律.AB=AC,且A≠OB=C即：AB=OA=O或B=O零因子解：（4）矩阵的乘法与线性方程组记从而得：线性方程组的矩阵形式——对应的齐次线性方程组可写为——AX＝BAX＝O例9已知(矩阵方程)，求X解：由矩阵方程知X为2×2矩阵设,则2a＋c＝12b＋d＝2a＋2c＝－1b＋2d＝4解得a＝1b＝0c＝-1d＝2这里实际上是倒置看两个特殊的矩阵相乘:E—单位矩阵(矩阵运算中的E，相当于数中的1)一般地，有：单位矩阵[注]当AB≠BA时,(A+B)(A－B)=?(AB)k＝(A+B)2＝五、方阵的幂和方阵的多项式1.方阵的幂性质规定:A0＝EnAk·Am＝Ak＋m,(Ak)m＝Akm？(A+B)(A+B)AB·AB…AB？≠AkBk.＝A2+AB+BA+B2设An×n,k是正整数，定义例10（1）求(练习)[]数学归纳法（2）设