自动控制原理—根轨迹法.ppt

② 极值法 ③ 牛顿余数定理的使用（二阶以上） 就实轴而言 ∴ 可以用求极值的方法 令 得 举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。 解：（用重根法） 判断：开环极点有三个 ∴ 在实轴上根轨迹 ， 则 s1满足，为分离点。 八、根轨迹的出射角和入射角 出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角 入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角 说明：靠近 的地方选一个s1点，相距ε 当ε→ 0，则 出射角 ∴ 即： 通式： ：由其它各开环零点指向 的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向 的向量的幅角 入射角： 九、根轨迹与虚轴的交点 随着kg↑，根轨迹可能由s左半平面→右半平面，系统会从稳定→不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。 求解方法（两种方法）： ① 令 代入闭环特征方程 ，再令 求出交点坐标和kg。 ②劳斯判据：第一列有0元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益→临界根轨迹增益kgp。 例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。 解：① 令 代入有 得 （舍去） ∴ 交点坐标： 解：② 劳斯判据 当 时， s1行等于0，有一对纯虚根，辅助方程 1 2 3 0 s3 s2 s1 s0 十、闭环极点的和与积 设系统的开环传递函数为 由根与系数的关系： 系统的闭环特征方程为 ∴ 是一个n阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为 ，则 由根与系数的关系： 当 时， ∴ 表明，随着kg↑，若闭环一些特征根增加时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。 ① 可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。 ② 对于某一 kg，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。 例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为 ，试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益kgp 解： 闭环特征方程： ∵ 开环极点之和： 闭环极点之和： ∴ 又 ∴ 小结：① 按10条规则→绘制控制系统从kg=0→+∞时根轨迹的草图→直观分析kg变化对性能的影响； ② 进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干点的位置（特别是虚轴附近或原点附近） →精确根轨迹。 4．3 控制系统根轨迹的绘制 一、单回路系统的根轨迹 解：① 根轨迹对称于实轴 ② ，根轨迹有3条，分别始于开环极点0，－1 ，－2，止于无穷远处 ③ 按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为 ④ ，渐近线共有3条 渐近线与实轴正方向夹角为： 截距： 1.例 设系统的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。 ⑤ 实轴上开环极点－1和0之间有根轨迹，∴ 之间有分离点，用重根法或极值法求 解分离点 处 分离角： （l：分离支数） ⑥ 分离点处时第3个闭环特征根 ∴ ⑦ ∵ ∴可估计根轨迹的走势 一条分支以极点－2为起