函数极值与非线性方程求解.PDF

第五章 函数极值与非线性方程求解 极值与最值问题的是微分学应用的重要组成部分。许多涉及最优化的理论与实际问题 都用求极值与最值的方法解决。例如，材料最省、线路最短、效益最高等等问题。许多涉 及最优化问题的数学模型实际上就是构造目标函数与约束条件，最后用条件或无条件极值 方法解决。可以说极值与最值问题架起了微分理论与最优化问题的桥梁。对之更深层次的 研究已发展为最优化理论。一元函数的极值与最值问题的解决方法是求导数与求驻点，最 后用相关判别法来判定。当一元函数的微分学推广到多元函数的偏导数和偏微分理论后， 其极值与最值问题的解决方法也相应的推广到多元无条件极值问题的解决方法。解决多元 函数条件极值的方法是拉格朗日乘数法。本章采用合理下料问题、越野赛中的取胜问题初 步引入极值与最值方法在实际问题中的应用。非线性方程的求解在许多实际问题中也会遇 到，本章通过空中电缆的长度问题的解决来介绍用计算机解非线性方程的数值计算方法。 §5.1 合理下料问题 为了制作需要，现要将一块四面体的木料加工成长方体。已知四面体有一顶点所在的 1 2 三条棱互相垂直，且它们的长度分别为 m ， m 及 1 m。问长方体的长、宽、高各为多少 3 3 才使其体积最大？ 一、问题分析与建立数学模型 这是一个求最值的问题。因为所涉及到的长方体在一个四面体内部，为了便于研究两 1 者的关系，首先建立如下坐标：以三条互相垂直的棱的公共顶点作为坐标原点，长为 m ， 3 2 m 与 1 m 的棱所在直线分别作为x 轴，y 轴与 z 轴建立直角坐标系，使四面体在第一卦 3 限（如图 5.1 ）。 z . y x 图5.1 要使长方体体积最大，则必须使其三面在坐标面上，且与原点相对的顶点在四面体的 47 斜面上。设该顶点的坐标为 ，则长方体的体积为 ( ,x ,y )z V xyz （1） 而该顶点的坐标必须满足四面体斜面的方程 x y z 1 + =+ （2 ） 1 2 3 3 这样问题就转化成求三元函数(1)在条件(2)下的条件极值问题 , (0 ≤x ≤1/3,0≤ ≤y 2/3 0 z ≤1)≤ 。 所谓条件极值问题，是指求某个函数的极值，但其中的变量受到一些条件的约束。有