计算机应用基础-3-线性与非线性方程(组)求解要点.ppt

function [x,n]=Jacobifun(A,b,x0,eps,var) % Jacobifun为编写的雅可比迭代函数 % A为线性方程组的系数矩阵 % b为线性方程组的常数向量 % x0为迭代初始向量 % eps为解的精度 % var为迭代步数控制 % x为线性方程组的解 % n为求出所需精度的解实际的迭代步数 if nargin==3 eps= 1.0e-6; M = 200; elseif nargin3 error return elseif nargin ==5 M = var{1}; end 3.1 线性方程（组）求解 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; n=1; %统计迭代次数 while norm(x-x0)=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次数太多，不收敛！); return; end end 3.1 线性方程（组）求解 例【3-5】用Jacobi迭代法计算方程组 设初始值为x0=[0, 0, 0]’ 计算程序“li3_5.m” X=[2.39, 2.18, -0.25]’ 3.1 线性方程（组）求解 五 调用Matlab内部函数 5.1 共轭梯度法，通过最优化求解，适用于系数矩阵为方阵m, 调用格式如下： [x, flag, relres, iter]=bicg(A, b, tol) 方程组的解 方程组成功的标志 解的相对误差 迭代的次数 求解器 系数矩阵 误差限 常数向量 3.1 线性方程（组）求解 A=[4, 1, -1; 2, -3, 1; 1, 2, -5]; b=[12, -2, 8]; tol=1e-7; [x, flag, relres, iter]=bicg(A, b, tol) x =2.3929，2.1786 -0.2500 flag = 0 relres = 1.1384e-014 iter = 3 3.1 线性方程（组）求解 例3-6 对于方程： Ax+xAT=-C 可采用Lyapunov方法求解，其调用格式： x=lyap(A,C) 5.2 lyap函数 5.3 minres 函数 利用残差法求解线性方程组，其调用格式为 [x, flag, relres, iter]=minres(A, b, tol) 3.1 线性方程（组）求解 3.2 非线性方程（组）求解 一、对分法 二、直接迭代法 三、牛顿迭代法 四、割线法 五、牛顿迭代法解方程组 六、符号求解（内部函数） 七、非线性方程组的应用 一 对分法 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在[a,b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使用对分法的前提条件。计算中通过对分区间，逐步缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根，但又不满足f(a)f(b)0，这时，我们必须通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。 3.2 非线性方程（组）求解 计算f(x)=0的一般计算步骤如下： 1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)0则转下，否则，重新输入a和b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值 分情况处理 （1）|f(x)|ε：停止计算x*=x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复3 4、输出近似根x*。 右图给出对分法的示意图。 x3=(x0+x2)/2 x2= (x0+x1)/2 x0 x3 x1 x1 3.2 非线性方程（组）求解 自编对分法的Matlab程序 function r=compute_bisect(f,a,b,tol) fa=subs(f,a); fb=subs(f,b); fab=subs(f,(a+b)/2); if(fa*fab0) t=(a+b