高数拉格朗日中值定理与函数单调性判别法.ppt

一、微分中值定理 推论：常数的导数为零；在区间上每一点导数都为零的函数是常值函数；两个函数的导函数相同，则此两函数相差一个常数。 * 第一节、拉格朗日中值定理与函数单调性的判定法 第三章、导数的应用 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 重点： 1．拉格朗日中值定理 2．函数单调性判定 难点：函数单调性的判别 教学重点 难 点 1．熟悉拉格朗日中值定理并会用其证明不等式 2．掌握函数单调性判定 教学目的 观察与思考：设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等? 提问：直线AB的斜率k=? f ?(x)?? 提示： 直线AB的斜率 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 那么在(a? b)内至少有一点x? 使得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a)? 1、拉格朗日中值定理 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a)? f(x?Dx)?f(x)?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? Dy?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? 拉格朗日中值公式 注： dy?f ?(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式? f ?(x??Dx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式? 定理：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零? 那么f(x)在区间I上是一个常数? 注：这个定理是常数的导数是零的逆定理。 证明 设f(x)?ln(1?x)? 显然f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有 f(x)?f(0)?f ?(x)(x?0)? 0xx ? 又由0xx? 有 例 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足? 则定理的结论有可能不成立? 2、罗尔定理 如果函数y?f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且有f(a)?f(b)? 那么至少存在一点x?(a? b)? 使得 f ?(x)?0? 3、柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内恒不为零? 那么在(a? b)内至少有一点x? 使得 注意： 如果取F(x)?x? 那么F(b)?F(a)?b?a? F ?(x)?1? 因而柯西中值公式就可以写成? f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a) (axb)? 这样就变成了拉格朗日中值公式了? ———柯西中值公式 定理的几何意义 提醒上面曲线用参数方程表示 例.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉格朗日中值定理的ξ值。 解： f(1)-f(0)=3 ∴2ξ+2=3 ∴ξ 二.函数单调性的判定法 0 x y 0 x y a b A B a b A B 几何特征： 定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导. 1）若在(a、b)内f’(x)0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。 y=f(x) y=f(x) f (x)0 f (x)0 注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。 2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f (x)0(或 f (x)0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少). *