北京交通大学至学学期几何与代数B期末考试试题A.doc

北京交通大学2006至2007学年第一学期几何与代数B期末考试试题A 北京交通大学?2006-2007学年第一学期《几何与代数B?》 期末考试试卷及评分标准(A) 一．填空题（本题满分24分，共8道小题，每道小题3分） 1．设矩阵，且，则______，______． ???解：，所以． 2．已知4阶方阵的行列式，则行列式___________________． ???解：，所以?． 3．设，则___________________． ???解：，所以或． 4．设是3阶方阵，，是的伴随矩阵，则________． ???解：． 5．若矩阵的秩，则的值为__________________． ???解：，因此. 6．若4维列向量线性无关，又非零且与 均正交，则_____________________． ???解：. 7．已知实二次型正定,则实常数的 取值范围为___________________． ??解：,，计算得，， ??????，整理得：. 8．2007阶行列式?___________________． ??解：，所以应填：. 二．计算题（每题8分，共56分） 9．求过点，且与两直线与都相交的直线． ???解：将两已知直线方程化为参数方程为 ????设所求直线与的交叉点分别为 ?????????和??????????????????…?2 ????则、、三点共线，即 ????????????????????…?4 ????解得 ????所以，??????????????????????????????…?6 得的一个方向向量为. ????所求直线的方程为：.?????????????????…?8 10．求直线绕轴旋转一周所得的曲面方程． ???解：设直线上有一点，显然有. 旋转到达位置。 由于绕轴旋转，因此， 且和到轴的距离不会应为旋转而改变.????????????…?3 因此??.?????????????????????????????…?5 由于??，故所求旋转曲面方程为 ??????????????????????????????????…?8 11．设四阶方阵，求． ???解： ? ? ?????????????????????????????????…?3 …??…???… ????应用数学归纳法，可以证明：?????…?8 12．设?，，，，问当取何值时， ⑴.?可以由线性表示，而且表示式唯一； ⑵.?可以由线性表示，但表示式不唯一． ???解：设，由此得线性方程组 （Ⅰ）????? 其系数行列式为????????????????????…?4 ????⑴.?当且时，由系数行列式，知线性方程组（Ⅰ）有唯一解，因此此时向量可以由线性表示，而且表示式唯一．?????????…?6 ????⑵.?当时，方程组（Ⅰ）是齐次线性方程组，且其系数行列式，因此此方程组有无穷多组解，因此可以由线性表示，但表示式不唯一． ????⑶.?当时，向量不能由线性表示．????????????…?8 13．已知三阶矩阵的特征值为,设矩阵，求. ???解：由三阶矩阵有特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使 .?????????????????????????????????…?2 ?????????? ????????????????????????…?4 ???所以， ???????????????????????????????…?6 ????????…?8 14．当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． ????解：利用增广矩阵 ????????…?2 ??当时，，此时，方程组有唯一解；???????????????…?4 ??当时， ??????若，则?，此时，方程组无解；????????…?6 ??若，则?，方程组无穷多组解，并且 所以，此方程组的通解为 ???????????????????????…?8 15．已知二次型的秩为， 求参数，以及此二次型所对应的矩阵的特征值． ???解：令，则 ???????????? ????再由的秩为，所以.?????????????????…?4 因此，二次型. ??????????? ????由特征方程，可得 ????，，.????????????????????????????????…?8 三．应用题（每题10分，共20分） 16．已知是矩阵的一个特征向量． ????⑴.?试确定参数、及特征向量所对应的特征值； ????⑵.?问是否相似于对角阵？说明理由． ???解：由已知，设对应的特征向量为，则 ???????????????????…?2 ????解得，，.???????????????????????