清华大学至学学期数学实验期末考试试题A.doc

清华大学2002至2003学年第二学期数学实验期末考试试题A 数学实验试题?????????2003.6.22?上午??????????????(A卷；90分钟) 一.?某两个地区上半年6个月的降雨量数据如下（单位：mm）： 月份 1 2 3 4 5 6 地区A 25 99 46 33 70 54 地区B 10 50 30 20 45 30 在90%的置信水平下，给出A地区的月降雨量的置信区间：????????????????????? 在90%的置信水平下，A地区的月降雨量是否不小于70（mm）？???????????????? 在90%的置信水平下，A、B地区的月降雨量是否相同？???????????????? A地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下（单位：m3）：110，184，145，122，165，143。该河流的径流量y与当地的降雨量x的线性回归方程为????????????????????????????????；若当地降雨量为55mm，该河流的径流量的预测区间为????????????????????????????????（置信水平取90%）。 答案：（程序略） (1)??[32.35，76.65] (2)?是 (3)?否 (4)??y=91.12+0.9857x (5)??[130.9,159.7] 二．（10分） （1）（每空1分）给定矩阵?，如果在可行域?上考虑线性函数?，其中?，那么?的最小值是???????，最小点为??????????????；?最大值是?????????，最大点为????????????。 （2）（每空2分）给定矩阵?，?，考虑二次规划问题?，其最优解为????????????????，最优值为?????????????????，在最优点处起作用约束为????????????????????????????????????????????????????????????????????。 答案：（1）最小值为11/5，最大值为7/2，最小点为（0，2/5，9/5），最大点为（1/2，0，3/2）。 ?????（2）最优解为（2.5556，1.4444），最优值为–1.0778e+001，其作用约束为?。 三．（10分）?对线性方程组：?，其中?Ａ＝?，???b=?? （3分）当??时，用高斯—赛德尔迭代法求解?。取初值为?，写出迭代第4步的结果?=____________________。 （4分）当??时，用Jacobi?迭代法求解?是否收敛？__________ , 理由是_________________________________________________?。 （3分）求最大的c,?使得对任意的?，用高斯—赛德尔迭代法求解?一定收敛，则c应为__________。 答案：（1）x = [???-1.0566???????1.0771????2.9897] （2）否；迭代矩阵的谱半径=1。（备注：可以求出此时迭代矩阵的特征值为a和-2a。） ?????(3) c = 1.?（备注：可求出原矩阵A的特征值为1-a和2a+1;?利用正定性质得结果。） [附]?第（1）问程序： a=1/2; b=(1,2,3); A=[1,a,a;a,1,a;a,a,1]; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=inv(D-L)*U; f=inv(D-L)*b; x=[0,0,0]; for i=1:4; ????x=B*x+f; end x AX=A*x, b 四．（20分）一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。 （1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度； （2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。 （3*）火箭达到最高点瞬间的高度和加速度。 （提示：牛顿第二定律f=ma，其中f为力，m为质量，a为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。） 答案：第一级火箭：模型建立 设时间变量t，高度为h(t)。第一级火箭模型为 令：?，则有 计算结果：第一级火箭燃烧完毕瞬间：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，加速度：5.2米/平方秒。 第二级火箭：模型建立 设时间变量t，高度为h(t)。第二级