清华大学-第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案.doc

第二学期高等数学期末考试试卷答案 PAGE 1 第 PAGE 1 页 共 9 页 清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依次为、和，则该向量的起点的坐标为___________________________． 2. 设、、都是单位向量，且满足，则 _____________________________． 3. 设，则_____________________________． 4. 设，则___________________． 5. 某工厂的生产函数是，已知⑴. 当时，；（2）当时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为，。如果工厂计划扩大投入到，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有_____________________________． 7. 设级数收敛，且，则级数__________． 8. 级数在满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程的通解为______________________． 10. 对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，应设其特解______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）． 答案： 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 单位； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ． 二．（本题满分8分） 求过点，且与两平面和平行的直线方程． 解： 所求直线过点，设其方向向量为， 由于平行于平面和，所以其方向向量同时垂直于向量与． 因此，方向向量可取为 ， ． 从而所求直线方程为 ． 三．（本题满分8分） 设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数．试求． 解： 所以， 四．（本题满分8分） 计算二重积分的值． 解： 作极坐标变换：，则有 ． 五．（本题满分8分） 某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为 （万元） 若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？ 解： 即求成本函数在条件下的最小值 构造辅助函数 解方程组 解得 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为： （万） 六．（本题满分10分） ⑴. 将展开为的幂级数； ⑵. 指出该幂级数的收敛域； ⑶. 求级数的和． 解： ⑴. 因为 ，且，所以， 而 所以， ⑵. 幂级数的收敛域为． ⑶. 令，则有 ． 七．（本题满分10分） 求微分方程的通解． 解： 该方程为一阶线性微分方程 因此， ， ． 代入一阶线性微分方程的求解公式，有 所以，原方程的通解为 八．（本题满分10分） 讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性． 解： ⑴. 因为级数为交错级数，．由于， 所以数列单调减少而且． 因此由Leibniz判别法知，级数收敛． ⑵. 讨论级数．其前项部分和为 所以，级数发散． 综上所述知，级数条件收敛． 九．（本题满分8分） 设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程 ， 试求函数． 解： 设，则有 ， 所以， 代入方程 ， 得， 即， 由此得微分方程 解此二阶线性微分方程，得其通解为 （与为任意常数） 此即为所求函数．