高等数学(上学期)期末考试试卷及答案.doc

北京林业大学20 12 --20 13 学年第 一 学期考试试卷答案 课程名称： 高等数学 （A） 课程所在学院： 理学院 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 设，则 ． 2. 0 ． 3. 已知函数在处连续，则 1/e ． 4. 当时，与是 同阶 （填同阶或等价）无穷小. 5. 函数的带皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式为 . 6d 7. 曲线拐点的横坐标为，则常数． 8 0 . 9. 若，则. 10方程 的通解是 . 二、解答题（每题5分，共60分） 1 2. 已知，求常数． 解: 由可得 ,故 3设，求及 解： 4设，求 解：把方程两边分别对求导，得 （*） 故 由原方程可得，时，，将代入上式，即得 5 解 ． 6设，其中在的某邻域内可导，且，求. 解： 7 解： 8 解： 9 解： 10 解： 11求曲线，使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标. 解：切线方程为；当， 由题意可得：；即 通解是 . 12求初值问题. 解：由题意，特征方程为，特征根为， 故对应齐次方程通解为； 不是特征方程的根，故可设原方程有特解， 解得，故原方程的通解为； 由得本题解为. 三、设在区间上连续，且，. 证明：（1）; （2）方程在区间内有且仅有一个根.（5分）. 证明：（1）； （2）； 又，所以，从而方程在区间内有一个根. 又，是单调递增的，从而方程在区间内仅有一个根. 四、设在上连续，在内可导，且，证明在内存在一点，使 （5分） 证明：令，则在上连续，在内可导，且因，则 即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在使 又，即，即 五、设抛物线通过点，且当时，.试确定的值，使得该抛物线与直线所围图形的面积为4/9，且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小. 10分 解：由于设抛物线通过点，故. 且；即有； 于是且令. 得唯一驻点，进而. 所以，. 2