华中师范大学至学学期实变函数期末考试试题B.doc

华中师范大学2002至2003学年第二学期实变函数期末考试试题B 华中师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末） 考试试卷（A、B卷） 课程名称?实变函数????课程编号????任课教师???????????? 题型 判断题 叙述题 简答题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分） 1、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。??????????(??×??)??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????改正：无限集中不存在基数最大的集合，但存在基数最小的集合。 ????2、存在闭集使其余集仍为闭集。??????????????????????????????????（?√??） ????3、若是可测集，是的可测子集，则?。???(?×??) ????改正：若是可测集，是的测度有限的子集，则?。 ???????????4、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在 ???????????????实数，使是可测集。?????????????????????????????（?×??） ???????????改正：若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：?????对任意实数，是可测集。 ???5、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。???????????????????????????????????????????? (?√??) ???????二、叙述题（共5题，共5×3=15分） ???1、伯恩斯坦定理。 答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与对等。 ???2、伯恩斯坦定理。 ?答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与?的基数相等。 ???3、可测集与开集的关系。 ?答：设为可测集，则对任意，存在开集，使且。 ?4、叶果洛夫定理的逆定理。 答：设{}为上几乎处处有限的可测函数列，也为上几乎处处有限的可测函数如果对任意，存在可测子集，使在上，一致收敛于，而则?a.e.于。 ?????????5、在可测集上几乎处处收敛于的定义。 ????????????答：设是可测集，、均为上的可测函数，如果中使不收敛于的点?所成的集为零测集，则称在上几乎处处收敛于，记为?a.e.于。 ???三、简答题（共1题，共1×10=10分） 1、按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。 ?????????答：1.?设为可测集，为上非负简单函数，即?（两两不交）且当 时??，则称为在上的Lebesgue积分，记为 ????。????????????????????————————————————————3分 ????2.?设为可测集，为上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列 ????使，则称为在上的Lebesgue积分，记为。 ??????????????????????????????????—————————————————————7分 ????3.?设为可测集，为上可测函数，由于，如果与 ????至少有一个为有限数，则称－为在上的Lebesgue积分，记为。???????????????—————————————————————10分 四、???????解答题（共6题，共6×10=60分） 1、设是上的单调函数，证明是上 ???的可测函数。 ???????证：由题设知?在上几乎处处连续，——————————————6分 ???而上连续函数是可测函数 ??所以由可测函数的性质知?是上的可测函数。??——————————————10分 ?2、设，证明是闭集的充要条件是：，其中{包含的闭集全体}。 ??证：充分性??由闭集的交集运算性知?是闭集。————————————4分 必要性??对任意，有，所以??——————————7分 ??????????????又，从而? ??????????????所以?。?????????????????????————————————10分 ?3、若均为上的可测子集，且，则?。 ??证：因为???????————————————————4分 ??????而?， 所以?。———————————10分 ?4、利用Lebesgue控制收敛定理，求?。 ???证：因为??当时，，———————————————4分 ???????所以????a.e.于 由Lebesgue控制收敛定理知?=。————————10分 5、设?，其中是上的有理数集，求??。 ???解：因?，所以??