华中师范大学至学年第一学期实变函数期末考试试题A.doc

华中师范大学2006至2007学年第一学期实变函数期末考试试题A 课程名称?实变函数?课程编号任课教师???????????????? 题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。?共5小题，每题3分，共5×3=15分） 1、可数个可数集的并集是可数集。???????????????????????????????????（??对? 2、可测集上的非负可测函数必Lebesgue可积。??????????????????????（??错?） 3、上全体Lebesgue可测集所组成的集类M具有连续势。?????????????（?错??） 4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。??????????????????????????????（??对?） ????5、若（，，）和都为可测集上的可测函数，且，，则，。?????????????????????????????（?错?） 二、叙述题?(共5小题?,?每题3分，共5×3 =15分) 1、单调收敛定理（即Levi定理） ?答：设是Lebesgue可测集，?，，为上的非负可测函数，若{}是单调递增的，记，则。 2、中开集的结构定理 答：中的任一非空开集总可表示成中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 （或中的任一开集或为空集或可表示成中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。） 3、中的集合是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义） 答：设，如果对任意，总有 则称为中的Lebesgue可测集，或称是Lebesgue可测的。 4、F.Riesz定理（黎斯定理） 答：设为Lebesgue可测集，?，，和都是上的几乎处处有限的可测函数， 如果?，则存在{}的一个子列{}，使得于。 5、有界闭区间上绝对连续函数的定义 答：设是定义在有界闭区间上实函数，如果，存在，使得对内任意有限个互不相交的开区间?，，，，只要它们的总长，总有 。 则称是有界闭区间上绝对连续函数。 三、计算题（共1题，共1×10 = 10分） 设为中的零测集，?，求?。 解：由题设，于，而在上连续， 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 。 四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分） 1、设为中的集，证明：必存在中的一列单调递增的闭集，使得。 证明：因为为中的集，所以一列闭集，使得 取，由闭集的性质知是闭集，且{}单调递增 。 2、证明：中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。 证明：记为中互不相交的开区间所构成的集族，对任意，由有理点的稠密性，中必存在有理点，取其中的一个有理点记为，并记，于是?必为至多可数集。 ???作到的映射如下： 由于中任意两个不同的和不相交，所以，于是是到的单射（实际上还是一一映射），所以?，故也是至多可数集。 3、设是上的实值函数，且在上的任一有限区间上都可测，则在上也可测。 证明：因为?，而是上的可测函数， 所以 由可测函数的性质得在上也可测。 4、用Fubini定理证明：若为上的非负可测函数，则 。 证明：记，令， 由题设易知也是上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理 。 5、设是中的可测集，若（1），其中为可测集，； （2），都是上的可测函数，且?于； （3）存在上的Lebesgue可积函数，使得，?。 证明：在上也Lebesgue可积，且?。 证明：记，由题设知?于（事实上，存在，当时，总有，从而，于是。） ????????又?，在上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到可得 。 6、设是Lebesgue可测集，，都是上的Lebesgue可积函数，若 ?，且， 证明：（1）在上非负可测； （2）用Fatou引理证明：。 证明：（1）由可测函数的运算性质得?是上可测函数， 又?，从而， 所以??在上非负可测。 （2）由题设，再由Fatou引理得 ， 即， 从而? 故??。