《线性代数课件（上海交通大学）》.ppt

*************************************5.5特征值与特征向量特征值的定义设A是n阶方阵，如果存在非零向量x和数λ，使得Ax=λx，则称λ是A的一个特征值，x是A对应于特征值λ的特征向量。特征方程：|λI-A|=0。特征向量的性质1.特征向量不唯一，若x是特征向量，则kx(k≠0)也是同一特征值的特征向量2.不同特征值的特征向量线性无关3.特征向量的几何意义：在线性变换下，方向保持不变，仅发生伸缩特征空间特征值λ对应的所有特征向量及零向量构成的集合Vλ={x|Ax=λx}称为特征空间，它是齐次线性方程组(λI-A)x=0的解空间，维数等于方程组的自由变量个数。5.6对角化对角化定义如果存在可逆矩阵P，使得P?1AP是对角矩阵，则称A可对角化。对角化后的矩阵D=P?1AP=diag(λ?,λ?,...,λ?)，其中λ?是A的特征值。对角化条件n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。等价地，A的每个特征值λ?的代数重数等于其几何重数（即对应特征空间的维数）。对角化步骤1.求A的特征值λ?,λ?,...,λ?2.对每个特征值λ?，求方程组(λ?I-A)x=0的基础解系3.将所有特征向量作为列向量构成矩阵P4.对角矩阵D=diag(λ?,λ?,...,λ?)对角化应用对角化可以大大简化矩阵幂、矩阵函数等计算：A^k=PD^kP?1=P·diag(λ?^k,λ?^k,...,λ?^k)·P?1f(A)=Pf(D)P?1=P·diag(f(λ?),f(λ?),...,f(λ?))·P?1第六章：二次型1二次型基础本章首先介绍二次型的定义和矩阵表示，研究实二次型的标准形和规范形。2合同变换探讨二次型的合同变换理论，掌握将二次型化为标准形的方法和技巧。3正定性学习正定二次型的概念和判别方法，理解正定性在实际应用中的重要意义。4几何应用研究二次型在几何中的应用，特别是对二次曲线和二次曲面的分类与表示。6.1二次型的定义与矩阵表示二次型的定义形如f(x?,x?,...,x?)=Σ??a??x?x?的多项式，其中a??=a??矩阵表示f(X)=X?AX，其中A是对称矩阵，A=(a??)，X=[x?,x?,...,x?]?标准形f(Y)=λ?y?2+λ?y?2+...+λ?y?2，其中λ?是矩阵A的特征值规范形f(Z)=z?2+z?2+...+z?2-z???2-...-z???2，其中p+q≤n惯性指数正项系数的个数p称为正惯性指数，负项系数的个数q称为负惯性指数二次型是代数学和几何学中的重要对象，它通过对称矩阵与向量的乘积形式表示。在解析几何中，二次型对应于二次曲线和曲面，如椭圆、双曲线、抛物线等；在力学中，二次型表示系统的能量函数；在统计学中，二次型出现在多元正态分布的密度函数中。6.2合同变换合同的定义若存在可逆矩阵P，使得B=P?AP，则称矩阵A与B合同1合同与相似对称矩阵的合同等价于正交相似2合同不变量合同矩阵具有相同的正负惯性指数3实对称矩阵通过正交变换可对角化为特征值矩阵4合同变换是研究二次型的核心工具，它保持二次型的本质特征不变。与相似变换不同，合同变换不一定保持特征值，但会保持正负惯性指数，这是二次型分类的重要依据。实对称矩阵的特征值都是实数，且存在n个两两正交的特征向量。这一性质使得我们可以通过正交变换将二次型化为标准形，其中对角线上的元素就是原矩阵的特征值。这种变换在几何上对应于坐标轴的旋转，使得二次曲线或曲面的主轴与坐标轴对齐。6.3正定二次型正定二次型的定义如果对任何非零向量X，都有f(X)=X?AX0，则称二次型f(X)为正定二次型，矩阵A为正定矩阵。直观理解：在任何非零点处，函数值都为正。正定的判定条件实对称矩阵A正定的充要条件：1.A的所有特征值都为正2.A的所有顺序主子式都为正3.A可以分解为A=BB?，其中B为满秩矩阵4.存在可逆矩阵P，使得A=P?P半正定二次型如果对任何向量X，都有f(X)=X?AX≥0，则称f(X)为半正定二次型，A为半正定矩阵。半正定矩阵的特征值非负，且至少有一个特征值为0。正定二次型的应用正定二次型在最优化问题、稳定性分析、机器学习等领域有广泛应用。例如，在最优化中，目标函数的Hes