厦门大学数学分析.doc

厦门大学2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 （一）数学分析 1 判断题 (1) 函数在某点连续的充分必要条件为:对任何收敛到的数列,数列均收敛. (2)设函数定义在上,则在处连续的充要条件为 其中. (3)设是次多项式,则都有 (4)设在上导数处处存在,,由中值定理,使得.则是关于的连续函数. (5)当函数在上可积时, 2.设 证明存在,并求. 3.证明:若函数在区间上连续及当时则函数满足拉普拉斯方程 4.设的收敛半径是,令,证明在任何有限区间上都一致收敛于 5.设函数在上可积,证明存在上的多项式数列使得 6.计算 其中为包围原点的简单封闭曲线 （二）实变函数 1. (1)叙述Lusin(鲁金)定理(可测函数与连续函数的关系定理) (2)应用(1):设是中的有界开集,满足试证明都存在一个连续函数使得 2.(1) 叙述Fatou定理 (2) 设在上几乎处处收敛于,且存在,当时,满足试应用Fatou引理证明 3. (1)叙述Lebesgue控制收敛定理 (2)设 其中令是中开集.如果是一个可积函数,并在的一个紧子集外恒为0.试证明当充分小时,函数 对任意的多重指标有 这里,其中本题可只考虑一维情形. （三）常微分方程A卷 1.(1)写出齐次线性微分方程组的Wronski行列式. (2)将阶齐次线性微分方程 化成线性微分方程组的形式,并由此定义阶齐次线性微分方程的个解的Wronski行列式 (3)证明对的任一点皆有 (4)已知二阶齐次方程 的一个非零特解,应用本题(1)(2)(3)的结论求出与线性无关的另一个特解. 2.设表示欧式坐标而且是定义在上的向量值函数,都是标量函数满足 试化它为常微分方程并解之.这里表变量的剃度.