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提能拔高限时训练57 函数,数列的极限,函数的连续性 一、选择题 1.等于( ) A. B. C.1 D.2 解析：. 答案：B 2.把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则等于( ) A. B. C.1 D.2 解析：令x=1,得, . 答案：D 3.等于( ) A.0 B.1 C. D. 解析：. 答案：D 4.等于( ) A. B.0 C. D.不存在 解析： . 答案：A 5.若数列{an}是首项为1,公比为的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是( ) A.1 B.2 C. D. 解析：∵, ∴2a2-5a+2=0. ∴a=2或(舍去). 答案：B 6.若,则常数a,b的值为( ) A.-2,-4 B.2,-4 C.-2,4 D.2,4 解析：,当x=1时,ax+a-b=0,b=2a,代入,得,则a=-2,b=-4,故选A. 答案：A 7.设函数在点x=0处连续,则a的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：,,f(0)=a,要使f(x)在点x=0处连续,需, ∴a=1. 答案：C 8.若(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,(2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值为( ) A. B. C. D. 解析：令x=1,得各项系数之和为an=6n,(2x3+5)n的展开式中各项二项式系数之和为bn=2n, ∴. 答案：D 9.记首项为1,公比为q(0＜|q|＜1)的无穷等比数列{an}的各项的和为S,Sn表示该数列的前n项和,且,则实数a的取值范围为( ) A. B. C.{,且a≠1} D.{,且a≠1} 解析：由题意,得, 于是, 解得. 又0＜|q|＜1,则实数a的取值范围为{,且a≠1},故选C. 答案：C 10.已知p和q是两个不相等的正整数,且q≥2,则等于( ) A.0 B.1 C. D. 解析： . 答案：C 二、填空题 11.已知数列的通项an=-5n+2,其前n项和为Sn,则___________________________. 解析：∵an=-5n+2, ∴. ∴. 答案： 12.若a＞0,则___________________________. 解析：当a＞1时,原式=1;当0＜a＜1时,原式=0;当a=1时,原式=. 答案：0,1或 13.已知函数在点x=0处连续,则a=_________________. 解析：因为在点x=0处连续,所以 . 答案：-1 14.有以下四个命题： ①在［0,1］上连续； ②若f(x)是(a,b)内的连续函数,则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值； ③； ④若则. 其中正确命题的序号是________________.(请把你认为正确命题的序号都填上) 解析：①在x=0处无定义； ②根据定义,知②错误；③计算后，知③成立； ④,所以错误. 答案：③ 三、解答题 15.已知数列{an}满足：a1=1且,an单调递增, 求. 解：由，有(an+1+an-1)2=4an·an+1. ∵an+1＞an≥a1=1, ∴an+1+an-1＞0. ∴, 即,从而,故是以1为首项,公差为1的等差数列.∴an=n2, . ∴. 16.已知,且函数在［1,e］上存在反函数,求b的取值范围. 解：∵, ∴x=-2为x2+cx+2=0的根,解得c=3. 又, ∴a=-1. ∴,. ∵在［1,e］上存在反函数, ∴y′≥0或y′≤0在［1,e］上恒成立