高二数学选修- ~曲线的极坐标方程的意义.ppt

4.2.1 曲线的极坐标方程的意义 例1 求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程。 变式训练2：求圆心在C（r,π/2), 半径为r的圆的极坐标方程 特别结论 * * 课前回顾 x y z Q r o x y z 其中 称为矢径， 相当于经度， 称为余纬度。 课前回顾 x y z o P(ρ,θ,z) Q θ x y 其中 称为极径， 为极角， 称为竖直坐标。 课前一练 x y z o A Q(3, , ) P(3, , ) B θ= 课前一练 S A B C （O） x z y O′ 课前一练 S A B C （O） x z 学习目标 1．掌握极坐标方程的意义; 2．能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程; 3．感受与应用极坐标方程的意义; 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义； 3、叙述求曲线方程的步骤； 知识回顾 情境：以极点O为圆心, 5为半径的圆上任意一点极径 为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 互动思考 问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 因此, 以极点为圆心, 5为半径的圆可用方程ρ=5来表示. 在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足曲线方程。 定义：一般地, 若一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ,θ)＝0； 反之, 极坐标适合方程 f (ρ,θ)＝0的点都在曲线上, 则这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线. 我们知道：在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程f (x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。 同理:在极坐标平面上, 曲线也可以用关于ρ、θ的二元方程f (ρ,θ)＝0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程。 互动思考 求曲线的极坐标方程： 类似于曲线直角坐标方程求法的基本步骤，可以得求曲线的极坐标方程基本步骤： （1）建立适当的极坐标系；（建系） （2）在曲线上任取一点 ；（设点） （3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（列式） （4）用极坐标 表示上述等式,并化简极坐标方程；（化简） （5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程；（证明） 解：如图所示，在所求直线 L上任取一点P(ρ,θ)， 连结OP, 则 OP＝ρ，∠POA＝θ 在Rt△POA中，由于OA/OP=cosθ， 即 2/ρ＝cosθ, 所以 ρcosθ=2为所求直线的极坐标方程。 θ O x ρ P(ρ, θ) A(2,0) 求曲线的极坐标方程： 要注意：数形结合！ 变式训练1：已知点P的极坐标为(1,π)，求过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。 θ O x ρ A(ρ, θ) 解：如图所示，在所求直线 L上任取一点A(ρ,θ)， 连结OP, 则 OA＝ρ，∠XOA＝θ 在Rt△APO中，由于OP/OA=cos( -θ)， 即 1/ρ＝-cosθ, 所以 ρcosθ= -1为所求直线的极坐标方程。 要注意：数形结合！ 例2: 求圆心在C(r,0),半径为r的圆的极坐标方程。 解：如图所示， |OP|＝|OA|cos∠POA 故所求圆的极坐标方程为 ρ＝2rcosθ 设P（ρ,θ）为圆上任意一点，由于OP⊥AP 即 ρ＝2rcosθ |OA|=2r，∠POA＝θ则 示例分析 解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。 设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（２r, π/2)。 设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ 在Rt△POA中，由于cos∠POA=|OP|/|OA|， 所以 故ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。 我们知道,在直角坐标系中，x=k (k为常数) 表示一条平行于y轴的直线；y=k (k为常数) 表示一条平行于x轴的直线。 类似可有：在极坐标系中，ρ＝k (k为常数) 表示圆心在极点、半径为k的圆； θ＝k (k为常数) 表示极角为k的一条直线（过极点）。 x O k x O k 例3.根据要求解题： （1）化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程； （2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-π/3) 为直角坐标方程。 解(1)因为 则有 经检验所求方程为： 示例分析 (2)解:因为ρ=6cos(θ-π/3) 所以 经检验所求方程为： （2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-π/3) 为直角坐标方程。 变式训练3： 1、把下列下列极坐标方程化为