(2.4) 第四节 高阶导数(少学时简约型).ppt

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上 的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上 的导数统称为高阶导数。 从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运 算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法 是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是 任意阶导数的计算方法。 从实际问题考虑，有必要研究函数导函数的导数。 例如，变速直线运动的速度函数 v = v( t )是位置 函数 s( t )对时间 t 的导数，即 v = s ?( t ). 加速度 a = a( t )又是速度函数 v( t )对时间 t 的导数, 即 a = v ?( t )=[ s ?( t )]?. 这种导数的导数称为 s( t )对 t 的二阶导数，记作: s ?( t ). 由此可抽象出二阶导数的 及一般高阶导数的概念。 函数 y = f( x )的导数 y = f ?( x )仍是 x 的函数，通 常把导函数 y = f ?( x )的导数叫做函数 y = f( x )的二阶 导数，记作: f ?( x )，y ? 即 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数 的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导 数叫做 n 阶导数，即 f ( n )( x )=[ f ( n-1 )( x )]?. 分别记作 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 (1) 高阶导数的定义 函数 y = f( x )具有 n 阶导数，也常说成函数 f( x ) n 阶可导。如果函数 f( x )在点 x 处具有 n 阶导数，则 函数 f( x )在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶 的导数。 (2) 高阶可导的递推关系 从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数 的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可 以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题： 一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增 加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各 阶求导过程中的中间变量。 二是逐阶求导对求导次数不高 时是可行的，当求导次数较高或求 任意阶导数时，逐阶求导实际是行 不通的，此时需研究专门的方法。 (1) 高阶导数的计算法则 从理论上看，逐次应用一阶导数的求导规则就可得 到高阶导数相应的运算规则。然而，对于和、差的导数 计算的线性规则，这种推导是方便的，而对乘积求导的 非线性运算规则，其推导过程和结果就未必简单了。 设函数 u( x ), v( x )在点 x 都具有 n 阶导数，则有 [ u( x )? v( x )]( n ) = u( x )( n )? v( x )( n ). u( x ), v( x )和的 n 阶导数 u( x ), v( x )积的 n 阶导数 ─ 莱布尼兹公式 设函数 u( x ), v( x )在点 x 都具有 n 阶导数，则由 一阶导数乘积的运算法则有 [ u( x )· v( x )]? = u ?( x )· v( x )+ u( x )· v ?( x )， [ u( x )· v( x )]?= [ u ?( x )· v( x )+ u( x )· v ?( x )]? =[ u ?( x )· v( x )]?+[ u( x )· v ?( x )]? =[ u ?( x )· v( x )+ u ?( x )· v ?( x )] + [ u ?( x )· v ?( x )+ u( x )· v ?( x )] = u ?( x )· v( x )+ 2u ?( x )· v ?( x )+ u( x )· v ?( x )， [ u( x )· v( x )]??=( u ?· v + 2u ?· v ?+ u · v ?)? =( u ?· v )?+( 2u ?· v ?)?+ ( u · v ?)? =( u ?· v )?+( 2u ?· v ?)?+ ( u · v ?)? =( u ??· v + u ?· v ?)+ 2( u ?· v ? + u ?· v ?)+( u ?· v ?+ u · v ??) = u ??· v + 3 u ?· v ? + 3 u ?· v ? + u · v ??. 可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其 间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，记： u( x )= u( 0 )( x )，v( x )= v( 0 )( x )， u ?( x )= u( 1 )( x )，v ?( x )= v(