第3章 微分中值定理与导数的应用 第四节.ppt

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与导数符号的关系 小结 二、曲线的凹凸与拐点 练习： * 一、函数单调性的判定法 观察与思考： 函数单调增加 函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。 函数的单调性与导数符号的关系 观察结果： 函数单调减少 函数单调增加 定理 证 应用拉格朗日定理,得 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例4 解 也可用列表的方式， 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y -2 O 2 -4 -2 2 4 x y=x3 驻点 例5 证 利用函数的单调性证明不等式 即原式成立。 例6 证 由连续函数的零点存在定理知， 利用函数的单调性讨论方程的根。 例7 证 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 问题:如何研究曲线的弯曲方向? N A B M 观察与思考： 函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？ 定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。 曲线凹向的定义 凹的 凸的 曲线凹向的定义 凹的 凸的 图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的 图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的 定义二 观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？ 拐点 凹的 凸的 当曲线是凹的时， f ?(x)单调增加。 当曲线是凸的时， f ?(x)单调减少。 曲线凹向的判定 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。 定理 例8 解 x y O 例9 解 上凹 下凹 上凹 拐点 拐点 例10 解 拐点的求法： 1.找出二阶导数为零的点或不可导点； 2. 若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点. 例11 解 利用函数图形的凹凸性,证明不等式 例12 证 * * *