本科少学时高阶导数.ppt

第四节 高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 　　设 y = f (x), 若y =f (x)在区间I内可导, 则f ‘(x)是x的函数.若这个函数f ’(x)在区间I内一点x0处仍可导的, 则其导数称为f (x)在点x0处的二阶导数. 一、高阶导数的概念 一般, 设y= f (x)的导数y‘ = f ’(x)在区间I内每一点处都可导，则称记f ‘(x)的导数为函数y= f (x)的二阶导函数（简称二阶导数） 二阶导数. 称为f (x)的 称为f (x)的三阶导数. 称为f (x)的n阶导数. 　　二阶以上的导数都称为高阶导数. 为统一符号, 有时记f(0)=f, y(1)=y, y(2)=y. 求高阶导数就是多次接连地求一阶导数，所以只需应用 基本的求导方法就能计算出高阶导数。 例1. 设物体作变速运动. 在[0, t]这段时间内所走路程为S = S(t), 指出S(t)的物理意义. 解: 我们知道, S=V(t). 而S=V(t) 注意到, ?V = V ( t +?t)?V(t)表示在[t, t +?t]这段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而 故 即, S = V(t) = a(t)为物体 在时刻t的加速度. 二、高阶导数的运算法则 例2. 设 求 解: 特别有: 例3. 求y = sinx的n阶导数y(n). 解: 我们知道 y =cosx, y = –sinx, y(3)= –cosx, y(4)= sinx,… 但y(n)的通项公式难写, 并且不好记. 从而 =cosx 例4. 设y = sin2x, 求 y(n). 解: y = (sin2x) y =(sin2x) = sin2x. = 2sinxcox …… 例3的变形 例5. 求 的n阶导数. 解: …… 一般地，由数学归纳法可得 例6. 求y =ln(1+x)的n阶导数. 解: …… 例6.求幂函数 （n 为正整数）的各阶导数。 解 由幂函数的求导公式得 由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1，第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于0。 例7.求幂函数 （ 为任意常数）的各阶导数。 解: …… 一般地，由数学归纳法可得 例8. 解: y = nxn–1, y = n(n–1)xn–2, y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3, …, y(n)= n(n–1)… 3 ·2 ·1xn–n = n! 而 y(n+1)= (n!) = 0 易见, 若f (x), g(x)均存在n阶导数, 则 类似, 设f (x)=a0xn +a1xn–1 +a2xn–2 +…+an–1 xn +an , 为n次多项式, 则f (n)(x)=a0n!, 而f (n+1)(x)= 0 1、二阶导数的定义 定义1：若函数 f (x) 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为f (x) 在点 的二阶导数，记作 2、n 阶导数： 的n-1阶导数的导数称为f (x) 的n 阶导数。 3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。